Stufenlogik Trestone - reloaded (Vortrag APC)

Trestone

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Hallo streicher,

von meiner Stufe 0 (alles unbestimmt) komme ich nur schwer weg zu Strukturen:

Das ist wohl genauso schwierig wie vom “Nichts” zu starten.

Ich sehe zwei Auswege:

1. Das anthropische Prinzip: Wäre alles am “Fliegenkleber” der Stufe 0 kleben geblieben
würde es uns und Strukturen heute nicht geben -
Das bedeuted de fakto gab es Stufe 0 nicht als Beginn sondern eine endliche Stufe n.
  1. Mein “deus ex machina” greift ein: Zusätzlich zu Stufe 0 lasse ich den Geist
    mit Stufe Unendlich “ewig” existieren und die benötigten Strukturen schaffen.


    Beide sind nicht so schön wie eine Stufe 0, die aus völliger Symmetrie alles hervorbringt,
    was aber wohl nicht sein kann.

    Vielleicht fehlt es mir auch nur an Phantsie ...

Gruß
Trestone
 

Trestone

Großmeister
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Hallo,

da wir über Stufe 0 ja fast nichts wissen, wäre auch denkbar
dass es eine Art Unbestimmtheit und Stufenfluktuation gibt.
Dann könnte sich Stufe 0 von selbst in Stufe 1 ändern.

(Nur woher kommt die Struktur mit der Fluktuation?)


Ein anderer Gedanke ist, dass Ursache und Wirkung
wahre/reale Eigenschaften haben müssen
(und die Ursache eine kleinere Stufe als die Wirkung).

Daher kann es in Stufe 0 (alles “unbestimmt”) keine Ursache geben,
sondern z.B. “unbewegte Beweger” in Stufe 1.

(Auch hier wird die Struktur der Stufenlogik vorausgesetzt.)


Gruß
Trestone
 

Trestone

Großmeister
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Hallo,

zum Bewusstsein muste ich ja bisher noch einiges offen lassen:

“ Das reicht natürlich noch nicht, um das Problem des Bewusstseins zu lösen.
Ein Teilproblem ist als „Kombinationsproblem“ bekannt:
Wie setzt sich unser Bewusstsein und Ich-Empfinden aus den (an den Atomen/Quanten orientierten)
Teil- oder Protophysischen zusammen?

Dahinter steckt auch die Frage, wie wird aus Teilen ein menschlicher Körper (oder ein Nervensystem)?

Denn einem solchen möchte ich ja ein „Ich“ bzw. ein „Bewusstsein“ zuordnen,
und nicht eine riesige Ansammlung von „Quantenbewusstseinen“.

Positiv ist in der Stufenlogik schon einmal, dass für diese Ich-Ebene
keine neue Stufe benötigt wird,
alle Geistformen können in Stufe Unendlich „untergebracht“ werden.

Und gemäß der Maxime „von nichts kommt nichts“ kann in der Stufenlogik
Physisches nur von Physischem (also von endlicher Stufe) stammen,

und Geistiges nur von Geistigem (also aus Stufe Unendlich).

Das Ich-Bewusstsein war also entweder schon immer da oder entsteht aus „Geistteilen“.

Aber die Frage bleibt, wenn sich ein Körper bzw. Nervensystem aufbaut,
woher dann ein „Ich-Geist“ bzw. „Ich-Bewusstsein“ herkommt?

Hier erscheint mir eine raum-zeitliche Koppelung an den Körper
plausibler als z.B. eine Seelenwanderung,
aber im Kern habe ich keine Lösung für diese Frage.“


Heute hatte ich dazu eine Idee:

So wie die Wasserstoffteilchen zusammengeballt (via Fusion) das Licht einer Sonne zünden können,
könnte Bewusstsein sich aus konzentrierten Nervensystemen ergeben.
Viele „Quantenbewusstseine“ bzw. Teilchen könnten kombiniert ein Bewusstsein hervorbringen,
das auch relativ unabhängig von den Einzelteilchen existiert.

Bei aller Eigendynamik ist es aber doch an die Nervenzellen bzw. den Körper gekoppelt
und stirbt wohl auch mit diesem.

Und natürlich gehört das Bewusstsein zur Stufe Unendlich.


Gruß
Trestone
 

streicher

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Hallo Trestone,

wäre nach deinem Stufenmodell ein Wiedererstehen des selben Bewusstseins möglich? Zumindest wäre es denkbar, da nach deinem Modell Bewusstsein oder Bewusstseine unabhängig von Materie existiert.
In unserer Realität hängt das Bewusstsein auch an verschiedenen Teilchen, jedoch haben die Teilchen gewisse Konstitutionen und Abläufe. Bringen gewisse Zusammensetzungen also zwangsläufig Bewusstsein hervor, oder wäre ein rein mechanisches Sein möglich? Es gibt Wissenschaftler, die nun sagen, dass gewisse Voraussetzungen zwangsläufig das Entstehen von Bewusstsein nach sich ziehen.

Gruß
streicher
 

Trestone

Großmeister
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Hallo streicher,

ich habe mit meiner Stufenlogik ja ein Modell aufgestellt
und untersuche nun was sich alles damit erklären lässt.
Daher probiere ich herum und weiß – außer bei der Logik selbst – nur wenig.

So ist mir der Zusammenhang zwischen Geist/Bewußtsein und Körper
noch nicht klar:

Einerseits argumentiere ich panpsychistisch mit einer Substanz
die sich in endlichen Stufen als Körper zeigt und in Stufe Unendlich als Geist.

Dann sehe ich wieder einen engeren Zusammenhang zwischen Körper und Geist.

Zu Deiner Frage, ob Wiedererstehen des selben Bewusstseins möglich wäre:
Hängt das Bewusstsein an der einen Substanz,
die sich als Körper und Geist zeigt, so könnte prinzipiell der Geistanteil
vielleicht auch unabhängig vom Körper existieren
oder mit einem neuen Körper wiedererstehen.

Wahrscheinlich erscheint mir das nicht,
denn die Neuverbindung von Seele und Körper erschien mir immer
als der schwache Punkt von Reinkarnationslehren.

Zur zweiten Frage ob bestimmte körperliche Zusammensetzungen
zwangsläufig Bewusstsein hervorbringen:
In meinem Modell bringt der Körper nicht direkt das Bewusstsein hervor,
denn dieses gehört zur Stufe Unendlich und der Körper hat endliche Stufen.
Hier bin ich also (fast) dualistisch.

Zum “Zünden” des Bewusstseins wäre außer einer (körperlichen) Quantenstruktur
wohl auch eine passende Struktur von (geistigen) Quantenbewusstseinen nötig.

Wenn beides vorliegt käme es wohl zu Bewusstseinsbildung.

Es sind aber ähnliche körperliche Quantesnstrukturen denkbar,
bei denen die Voraussetzungen in Stufe Unendlich (Quantenbewusstseine)
nicht gegeben sind
und die daher nicht zur Ausbildung von Bewusstsein führen.

Wie eng geistige und körperliche Welt parallel laufen weiß ich nicht
(Hat jedes körperliche Quant das gleiche geistige Quant zugeordnet?)

Immerhin lässt es die “Dunkle Materie” möglich erscheinen,
dass geistige Teilchen auch ohne körperliche Partner existieren können.

Und wie Du bemerkt hast könnte in meinem Modell
auch Bewusstsein unabhängig von Materie existieren.

Ob umgekehrt ein rein mechanisches Sein in meinem Modell möglich wäre
muss ich offen lassen:

Da ich die Gravitation dem Geistigen zugeordnet habe
und meines Wissens alles Materielle/Energetische der Gravitation unterliegt
sprechen zumindest die bisherigen Beobachtungen bzgl. Gravitation
nicht für ein rein mechanisches Sein.

Es könnte also reinen Geist geben. aber ehr nicht reine Materie,
sondern letztere wohl stets gekoppelt an Geist.

Gruß
Trestone
 

Trestone

Großmeister
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Hallo,

die Stufenmengenlehre ist eine wichtige (und wie ich finde schöne) Ergänzung
der Stufenlogik.

Ich will daher ihre Grundprinzipien hier als Einschub noch einmal aufführen
(damit man nicht so lange suchen muss),
ohne allerdings eine akademisch komplette Merngenlehre zu entwerfen.
das überlasse ich gerne anderen.


Der Grundansatz für die Stufenmengenlehre ist der folgende:

M1: Mengenelementdefinition:
(Die Menge) x ist von Stufe s+1 aus gesehen Element der Menge M genau dann
wenn x von Stufe s aus gesehen die Eigenschaft A(x) hat.

Bis auf die Stufen also ähnlich der klassischen Mengenlehre.

Statt „x e M wenn Eigenschaft A(x) gilt“ wird also „x e M (in Stufe s+1)“ mittels
„x hat Eigenschaft A(x) in Stufe s“ betrachtet.
So werden die Stufen (der Stufenlogik) in die (Stufen-)Mengenlehre übernommen.

Eine Menge M in der Stufenmengenlehre ist also etwas anderes (und komplexeres)
als eine klassische Menge,
denn sie hat Stufen und kann in jeder Stufe andere Elemente haben.

Andererseits wird sich zeigen, dass sich mit dieser Art Mengen
vieles einfacher beschreiben lässt und man z. B. keine Klassen mehr benötigt.

Für an formaler Logik/Mathematik Interessierte führe ich die Grundregeln
der Stufenmengenlehre noch einmal auf.
Andere können zu „Eigenschaften und Beweise:“ weiterblättern
und das unter „Zu Cantors Diagonalbeweis:“ überspringen.


M1: Mengenelementdefinition

(Die Menge) x ist von Stufe t+1 aus gesehen Element der Menge M
genau dann
wenn x von Stufe t aus gesehen die Eigenschaft A(x) hat.

Genauer: Der Wahrheitswert von „x e M“ in Stufe t+1
ist der Wahrheitswert von A(x) in Stufe t.
Vt >=0: Vx VM: W(x e M,t+1):= W(A(x),t)


M2: Mengen zu Aussagen:

Zu jeder stufenlogischen Aussage A(x) über beliebige Stufenmengen x
gibt es eine Stufenmenge M,
die für alle t=0,1,2,3,… die Elementgleichung erfüllt:
W(x e M, t+1) := W(A(x), t)

M3a: Direktmengen:

Zu jeder Eigenschaft A(x) gibt es also eine Menge M.
Wir bezeichnen Mengen, die eine solche t+1-Darstellung über A(x) und t besitzen als“Direktmengen“.


M3b: Metamengen:

Sei F eine logische Funktion (meist Metaaussage)
(wie z.B. Negation, Identität oder logische Konstante w,-w,u,
z.B. F o W (xeM1,t) := „W(xeM1,t)=u“ ).

W(x e M, t+1) := W ( F o W(x e M1, t), 1) definiert eine (Meta-)Menge M
(wobei auch M1=M erlaubt ist.)

Man beachte, dass für F keine All-Aussagen oder Existenzaussagen zu allen Stufen zugelassen sind.


Folge zu Stufe 1 aus M3a/M3b:
Für alle x und Direktmengen M gilt: W(x e M, 1) = u.
Von Stufe 1 aus sind alle Direktmengen unbestimmt (denn W(A(x),0)=u gilt ja stets).

Metamengen können in Stufe 1 auch w oder –w als Wert für Elemententhaltung haben.

M4: Stufenmengen:

Die in M1-M3b beschriebenen Mengen (und (zunächst) nur diese)
bilden die Menge der Stufenmengen.


M5: Mengengleichheit:
Stufenmengen M1 und M2 sind gleich, wenn“x e M1“ und „x e M2“
in allen Stufen für alle Stufenmengen x gleiche Werte hat.

Für alle d>=0: W(M1=M2, d+1) = W ( Für alle t gilt: W(xeM1,t) = W(xeM2,t) , 1 )

Insbesondere gilt: W(M=M, d+1)=w für d>=0.

Mengengleichheit ist eine Metaaussage die in allen Stufen d+1>=1 entweder w oder –w ist.


M6: Leere Menge 0:
Für die leere Menge 0 ist jede Menge in jeder Stufe >0 Nichtelement.
Vt>0: W(x e 0, t) := -w und W(x e 0, 0) := u.


M7: All-Menge All:
Für die All-Menge All ist jede Menge in jeder Stufe >0 Element.

Vt>0: W(x e All, t) := w und W(x e All, 0) := u



M8: Unbestimmte Menge U:

Für die unbestimmte Menge U ist jede Menge in jeder Stufe
weder Element noch Nichtelement.
Vt>=0: W(x e U, t) := u (= W(u,t)).
(U ist eine Direktmenge)
M9: Verknüpfungsregeln:

Sei jeweils W(x e M1, t+1)=W(A1(x), t) und (x e M2, t+1)=W(A2(x), t).
Dann gilt:
W(x e M1 v M2 , t+1) := W( A1(x) v A2(x) , t ) = W(x e M1, t+1) v W(x e M2, t+1)

W(x e M1 und M2 , t+1) := W( A1(x) und A2(x) , t ) = W(x e M1, t+1) und W(x e M2, t+1)
W(x e All – M, t+1) = W(w und – A(x), t)
W(x e M1 – M2, t+1) = W(A1(x) und – A2(x), t)

Natürliche Zahlen und Arithmetik:


N1: Definition Nachfolgerfunktion M+ zu Stufenmenge M
(zur Konstruktion natürlicher Zahlen):


Vt>0: W(x e M+, t+1) := W(x e M, t+1) v W(x=M,1)
Betrachten wir die 0: W(x e 0,t)= f für t>0. „Null“ ist also ab t=1 leer (stufenunabhängig).

1=0+ : W(x e 0+, t+1) = W(x e 0, t+1) v W(x=0,1) = W(x=0,1)


Eins“ enthält also ab t=1 genau das eine Element „Null“

Allgemein: n+ enthält in Stufe t>0 genau die Elemente n, n-1, …,1,

Die Addition lässt sich nun auch analog dem klassischen Vorgehen definieren:


W( x e n + m+, t+1 ) := W( x e (n+m)+, t+1 ) = W( x e (n+m),t) v W(x=(n+m),1)

Bei der Multiplikation ist ein wenig schwieriger:

W( x e n*m+, t+1 ) := W( x e n*m + n, t+1) = W(x e (n*m + n-1)+, t+1 ) = W( x e (n*m + n-1), t) v W(x = (n*m + n-1),1)

Der Beweis zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung klappt wegen Stufenwechseln nicht mehr.


Eigenschaften und Beweise:

Ein Beispiel ist die Russellmenge R mit „x ist Element von R in Stufe s+1,
wenn x nicht Element von sich selbst in Stufe s ist“.
R e R ist in Stufe 0 unbestimmt, in Stufe 1 wahr, in Stufe 2 falsch, in Stufe 3 wahr, usw.,
also ist die Russellmenge eine „normale“ Stufenmenge.


Ähnliches gilt für die oben definierte All-Menge,
die wir gleich noch näher betrachten werden.

Insbesondere gelten in der Stufenmengenlehre die Cantorschen Diagonalbeweise nicht
und es wer den daher auch keine überabzählbaren Mengen benötigt.


Zu Cantors Diagonalbeweis:

Klassisch gilt ja der Satz von Cantor, dass keine Menge die gleiche Mächtigkeit wie ihre Potenzmenge haben kann,
und dies wird mit einem „Diagonalbeweis“ gezeigt:

Man nimmt an, es gäbe eine Bijektion f von M auf P(M) und bildet dann die Menge Af,
die genau aus allen M-Elementen x besteht, die nicht in ihrem Bild f(x) liegen:

Af:= Menge aller x : x –e f(x) ( und x e M)

Da Af selbst eine Menge aus M-Elementen ist, also ein Element der Potenzmenge P(M)
muss es nach Annahme auch ein x0 geben mit f(x0) = Af.

Dies führt aber auf einen Widerspruch:
1. Fall: Es gilt x0 e f(x0) , dann liegt x0 nicht in Af, also x0 –e Af = f(x0), ein Widerspruch!
2. Fall: Es gilt x0 -e f(x0) , dann liegt x0 in Af, also x0 e Af = f(x0), ein Widerspruch!

Also ist die Existenz der Bijektion f nicht möglich.

In der Stufenmengenlehre ist das anders:

1. Beweis:
Die All-Menge „All“ hatte ich ja wie folgt definiert:

W(x e All, t+1) := W (w,t) = w für t>0 und =u für t=0.

Die ALL-Menge ist also eine zulässige Stufenmenge.

Für die All-Menge ist die Potenzmenge gerade die All-Menge: P(all) = All.

Daher kann man als Bijektion f (in jeder Stufe t) die Identität wählen.

Die All-Menge hat also die gleiche Mächtigkeit wie ihre Potenzmenge!

2. Beweis:

Wie ist das mit der Diagonalmenge Af in der Stufenmengenlehre?

Sei eine Stufe t0 gegeben und f eine Bijektion von M auf P(M) in Stufe t0.

Wir bilden nun analog: (Für Metaausagen wählen wir Stufe 1):

W( x e Af, t+1) := W ( W(x e f(x), t) -= w , 1 ) & W( W( x e M, t0)=w , 1)

Wieder muss es ein x0 geben mit W( x0 e M, t0)=w und f(x0) = Af.

1. Fall: W(x0 e f(x0), t)= w .
Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , 1 ) & W( W( x0 e M, t0)=w , 1) =
W ( -w, 1) & w = -w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = -w.
Dies ist kein Widerspruch,da es um verschiedene Stufen geht.
(Mit der gleichen Stufe t+1 auf beiden Seiten wäre die Definition von x e Af
nach Stufenregeln nicht zulässig)

2. Fall: W(x0 e f(x0), t)= u . Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , 1 )
& W( W( x0 e M, t0)=w , 1) = W ( w, 1f) & w = w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = w.
Dies ist kein Widerspruch,da es um verschiedene Stufen geht.

3. Fall: W(x0 e f(x0), t)= -w . Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , 1 )
& W( W( x0 e M, t0)=w , 1) = W ( w, 1f) & w = w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = w.
Dies ist kein Widerspruch,da es um verschiedene Stufen geht.

Jetzt betrachten wir noch Af für den Fall, dass M die Allmenge ist und f die Identität:

W( x e Af, t+1) := W ( W(x e f(x), t) -= w , 1f) & W( W( x e All, t0)=w , 1)

W( x e Af, t+1) := W ( W(x e x, t) -= w , 1f) (für t0>0 ist der letzte Term immer w).

Nun finden wir in Af die Russell-Menge R wieder, wir hatten definiert:

W(x e R, t+1) := W ( W(x e x, t) = -w oder W(x e x, t) = u , 1)

Strenggenommen ist der 2. Beweis nicht stichhaltig, da eine andere Definition von Af zum Ziel führen könnte,
aber der direkte Beweis über die All-Menge liegt ja vor –
und der Zusammenhang mit der Russellmenge veranschaulicht vielleicht die Zusammenhänge in der Stufenmengenlehre ganz gut.

Mit Stufenlogik und Stufenmengenlehre haben wir also wohl ein (zugegebenermaßen etwas unhandliches) Werkzeug,
um die Mathematiker aus dem „Cantorschen Paradies“ der Überabzählbarkeiten
zu vertreiben …


Spannend ist vielleicht auch, dass die Beweise von Gödel zu den Unvollständigkeitssätzen mit Stufenmengenlehre wohl nicht mehr gültig sind.
Allerdings konnte ich dies durch die fehlende Überabzählbarkeit,
die Nichteindeutigkeit von Primfaktorzerlegungen und das generelle Aufheben
von indirekten Beweisen mittels Stufen nur plausibel machen
und noch nicht mathematisch streng beweisen.
Könnte gern jemand eine Arbeit dazu erstellen.

Gruß
Trestone
 

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Und wie Du bemerkt hast könnte in meinem Modell
auch Bewusstsein unabhängig von Materie existieren.
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, Trestone, aus der ich mir jetzt nur wenige Sätze rausgreife. Der Gedanke, dass gewisse Anordnungen von Materie zwangsläufig zu Bewusstsein führen, ist ja nicht neu. Einerseits frage ich mich, auf welcher Grundlage Materie existiert, oder weitergehend, auf welcher Grundlage existieren die Quanten, die wir annehmen? Breiten die sich in "Rinnen" aus, die als Grundlage schon da waren - klingt zeitlich - muss aber nicht in Abfolge gedacht sein. Die einzige Abfolge ist sozusagen das Nacheinander der auftretenden Quanten bzw. Stufen.
Immerhin lässt es die “Dunkle Materie” möglich erscheinen,
dass geistige Teilchen auch ohne körperliche Partner existieren können.
Bei der "Dunklen Materie" weiß man allerdings noch nicht genau, was sie eigentlich ist. Sie ist postuliert, und nur schwer nachzuweisen. In der Hand hatte sie praktisch von uns noch niemand. Und über sie wird noch immer angenommen, wie auch bezeichnet, dass sie Materie ist.
 

Trestone

Großmeister
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Bei der "Dunklen Materie" weiß man allerdings noch nicht genau, was sie eigentlich ist. Sie ist postuliert, und nur schwer nachzuweisen. In der Hand hatte sie praktisch von uns noch niemand. Und über sie wird noch immer angenommen, wie auch bezeichnet, dass sie Materie ist.
Hallo streicher,

einer meiner (spekulativen) Ansätze ist ja,
da die Gravitation sich so schwer auf die anderen Wechselwirkungen abbilden lässt,
dass die Gravitation nicht eine Eigenschaft der Materie sondern des Geistes ist.
Von da ist es dann kein weiter Weg, um "dunkle Materie" als "reinen Geist" zu sehen.

Bin natürlich für Gegenargumente offen.

Gruß
Trestone
 

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Ehrenmitglied
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Hallo streicher,

einer meiner (spekulativen) Ansätze ist ja,
da die Gravitation sich so schwer auf die anderen Wechselwirkungen abbilden lässt,
dass die Gravitation nicht eine Eigenschaft der Materie sondern des Geistes ist.
Von da ist es dann kein weiter Weg, um "dunkle Materie" als "reinen Geist" zu sehen.

Bin natürlich für Gegenargumente offen.

Gruß
Trestone
Hi Trestone,

die Gravitation ist mit ihrer Fernwirkung sehr eigenartig. Mit der Masseerklärung durch das Higgs-Teilchen ist noch lange nicht alles getan, wobei ich auch gelesen habe, dass der Brückenschlag zur Dunklen Materie durch das Higgs-Teilchen deutlich leichter geworden ist, oder sozusagen der Anfang gesetzt worden ist.
Ich weiß nicht, wie das Bran-Modell des Universums die Sache mit der Gravitation auffängt / versucht zu erklären. Da muss ich mich wohl erstmal wieder einlesen + recherchieren. :illu:

Gruß
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Trestone

Großmeister
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Hallo streicher,

ich habe schon Schwierigkeiten meiner eigenen (Stufen-)Theorie zu folgen,
ich fürchte bei der Physik bin ich nicht ganz auf Höhe der Zeit
(z.B. Stichworte Higgs-Teilchen, Brane),
aber deshalb versuche ich ja hier zu diskutieren.

Gruß
Trestone
 

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Ehrenmitglied
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Hi Trestone,

Mit der Dunklen Materie scheint es wie mit dem Higgs-Teilchen. Es braucht für den Nachweis eine unabhängige Bestätigung: so weit ist man schon...
Heiße Spur zur Dunklen Materie
Seit mehr als 20 Jahren versuchen Forscher die Dunkle Materie durch direkte Messungen nachzuweisen. In einem Labor tief im Inneren der Abruzzen könnte das bereits gelungen sein – das Problem ist nur: Es braucht eine unabhängige Bestätigung. Die soll jetzt ein neues Experiment liefern.
 

Trestone

Großmeister
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Hallo,

das Hinzunehmen der Stufen zur Logik erscheint oft ungewohnt und willkürlich.
Vielleicht kann der Vergleich mit den komplexen Zahlen das verständlicher machen.

Mit den reellen Zahlen kam man ja lange Zeit gut zurecht.
Die meisten praktisch benötigten Gleichungen ließen sich lösen
und die Vorstellung von reellen Zahlen als Pfeile mit positiver oder negativer Richtung
auf de Zahlenstrahl war anschaulich und funktionierte,
v.a. bei Addition und Subtraktion.

Nur exotische (multiplikative) Gleichungen wie x*x =- 1 hatten keine Lösung.

Erst als man eine neue Dimension dazu nahm und zu den reellen Zahlen
noch Imaginärteile hinzunahm, die senkrecht auf dem Zahlenstrahl standen,
konnte man nun alle Gleichungen lösen.

Die neuen komplexen Zahlen wurden nun als Pfeile in einem 2-dimensionalen Raum
(der Gaußschen Zahlenebene) veranschaulicht.
Multiplikation erfolgt dort mittels Winkeladdition.

Für den Alltag sind die rationalen und reellen Zahlen weiter ausreichend,
aber mathematisch gesehen sind die komplexen Zahlen viel befriedigender.

Die klassische Logik ist nun analog zu den reellen Zahlen.
Sie funktioniert für den Alltag seit über 2000 Jahren gut
und erscheint uns einleuchtend:
Sätze sind entweder wahr oder falsch.

Auch hier gibt es exotische (meist selbstbezügliche) Sätze, die nicht ins Schema passen:

L:= „Dieser Satz ist nicht wahr“

Wenn L wahr ist, dann ist L gemäß Definition auch falsch,
und wenn L falsch ist, dann ist L gemäß Definition auch wahr.


Die Stufenlogik nimmt nun analog zu den komplexen Zahlen
eine zusätzliche Dimension (die Stufen) hinzu, um eine Lösung zu finden:

Der Wahrheitswert eines Satzes wird nun mit einer Stufe verknüpft,
so dass wir statt bisher „wahr“ oder „falsch“
nun „wahr in Stufe k“ oder „falsch in Stufe k“ als Wahrheitswerte haben.

Anders als bei den komplexen Zahlen nehmen wir aber je Satz
nicht nur einen neuen Wert dazu, sondern eine ganze Folge von Werten in Stufe 0,1,2,3,...

Ein Satz soll für jede der Stufen 0,1,2,3, ... einen definierten Wahrheitswert haben.

Dem „wahr“ oder „falsch“ in der klassischen Logik entspricht in der Stufenlogik
daher ein unendlicher Wahrheitswertvektor.
Das macht die Stufenlogik sehr flexibel, statt „wahr“ oder „falsch“
gibt es unendlich viele mögliche „Wahrheiten“.
Und anders als in der klassischen Logik können Sätze nun auch zugleich wahr und falsch sein,
wenn nur die Stufen unterschiedlich sind.

Die Stufen besitzen eine Hierarchie:
Sie sind für sich selbst und nach oben „blind“, d.h. bei Definitionen von Werten
darf man immer nur auf niedrigere Stufen zurückgreifen.
So werden Widersprüche vermieden.
Selbstbezüglichkeit von Sätzen sind aber ausdrücklich erlaubt -
sie werden über die Stufen „entschärft“.

Die Stufe 0 ist als kleinste Stufe der Stufenlogik ein Sonderfall.
Da es willkürlich wäre, hier den Wert „wahr“ oder „falsch“ für einen Satz anzunehmen
und man sich bei der Definition nicht auf eine niedrigerere Stufe beziehen kann,
wird hier unabhängig vom Inhalt des Satzes der Wert „unbestimmt“ angenommen.

Dadurch wird die Stufenlogik zu eine dreiwertigen Logik (mit wahr, unbestimmt, falsch),
aber die Stufen sind als Neuerung deutlich wichtiger als die Dreiwertigkeit.

Am Lügnersatz L lässt sich ihr Funtionieren schön demonstrieren:

Hier die Formulierung LS für den Lügnersatz in Stufenlogik:

„Für alle k=0,1,2,3,...: Dieser Satz LS ist wahr in Stufe k+1, falls LS nicht wahr ist in Stufe k
und LS ist falsch in Stufe k+1 sonst.“

Stufe 0: Wie alle stufenlogischen Sätze ist LS in Stufe 0 unbestimmt (s.o.), also nicht wahr.

Stufe 1: Dieser Satz LS ist wahr in Stufe 0+1, falls LS nicht wahr ist in Stufe 0
und LS ist falsch in Stufe 0+1 sonst.“
Also ist LS in Stufe 1 wahr.

Stufe 2: Dieser Satz LS ist wahr in Stufe 1+1, falls LS nicht wahr ist in Stufe1
und LS ist falsch in Stufe 1+1 sonst.“
Also ist LS in Stufe 2 falsch.

Stufe 3: Dieser Satz LS ist wahr in Stufe 2+1, falls LS nicht wahr ist in Stufe 2
und LS ist falsch in Stufe 2+1 sonst.“
Also ist LS in Stufe 3 wahr.

Stufe 4: Dieser Satz LS ist wahr in Stufe 3+1, falls LS nicht wahr ist in Stufe3
und LS ist falsch in Stufe 3+1 sonst.“
Also ist LS in Stufe 4 falsch.

Der Wahrheitsvektor von LS lautet also (u,w,f,w,f,w,f,w,f, …)

Dies ist aus Sicht der Stufenlogik ein erlaubter Wahrheitsvektor und nicht widersprüchlich,
nur verschiedene Wahrheitswerte innerhalb einer Stufe wären ein Widerspruch.

Durch die neuen Möglichkeiten mittels der Stufen wird die „Lösung“
der Lügneraussage möglich, analog zur Wurzel aus -1 bei den komplexen Zahlen.

Wie die reellen Zahlen sich als Spezialfall der komplexen Zahlen finden (Imaginärteil 0),
lassen sich die klassischen logischen Aussagen in der Stufenlogik wiederfinden:
Es sind die Aussagen mit über die Stufen konstanten Wahrheitswerten,
genauer mit Wahrheitsvektor (u,w,w,w,w,w,w,...) oder (u,f,f,f,f,f,f,f,...).

So wie die komplexen Zahlen alle algebraischen Gleichungen positiven Grades lösbar machen,
kann die Stufenlogik zur Auflösung von Widersprüchen und Antinomien eingesetzt werden.
Sie führt so auch zu einer neuen Mathematik:
Dort sind ja gerade indirekte Beweise für grundlegende Fragen verbreitet (z.B. Cantorsche Diagonalisierung,
Gödelsche Unvollständigkeitssätze, Halteproblem der Informatik).
Da die dort auftretenden Widersprüche / Wahrheitswerte sich jeweils
in unterschiedlichen Stufen befinden, sind diese Beweise mit Stufenlogik nicht mehr gültig.

Den meisten Mathematikern wird dieser Preis für die Stufenlogik zu hoch sein,
dass ich so nebenbei zum Revolutionär geworden bin stört mich aber nicht …


Gruß
Trestone
 

Giacomo_S

Ehrenmitglied
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Das macht die Stufenlogik sehr flexibel, statt „wahr“ oder „falsch“ gibt es unendlich viele mögliche „Wahrheiten“.

Sehr viele, aber nicht unendlich viele.

Nach Max Planck und der Quantentheorie existieren minimale Einheiten für Raum und Zeit, die Planck-Einheiten. Planck-Länge und Planck-Zeit sind zwar sehr klein, aber endlich. Sie markieren die minimalen Grenzen, bis zu denen wir Ursache und Wirkung unterscheiden können. Können wir Ursache und Wirkung nicht mehr unterscheiden, dann wird auch jede logische Entscheidung bedeutungslos.

Die maximale Anzahl möglicher Wahrheiten ist daher von endlicher Größe. Sie lässt sich berechnen aus Volumen des sichtbaren Universums x Planck-Länge x Planck-Zeit x Entscheidungsdauer (sagen wir: pro Sekunde*).
Sie ist sehr groß, aber nicht unendlich. Ich möchte das jetzt nicht präzisieren, aber sie dürfte kleiner als 10^150 sein.


* Auch eine Ausdehnung der Entscheidungsdauer auf das gesamte Alter des Universums erhöht den Exponenten nur moderat. Denn das Universum ist "nur" 4,36 x 10^17 Sekunden alt. Berücksichtigt man, dass sich das Universum seit seiner Entstehung vor rund 13,81 Mrd. Jahren beständig ausgedehnt hat, dann war es auch zu den jeweils vergangenen Zeiten kleiner. Das bedeutet auch, dass der Faktor in der obrigen Gleichung "Volumen des Sichtbaren Universums" jeweils kleiner war.
 

Trestone

Großmeister
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Hallo Giacomo_S,

ob die minimalen Einheiten für Raum und Zeit wirklich wirksam existieren sehe ich noch offen.
Mir sind da endliche Modelle nicht nur wegen der Relativitätstheorie nicht so sympatisch.

Aber auch unabhängig davon gibt es mehr logische Aussagen als nur physikalische,
somit ggf. auch unendlich viele Aussagen und Wahrheiten.

Die Stufenlogik soll ja auch zu unserem Geist passen (inkl. geistiger Ursachen),
und da wäre ein endliches Modell doch enttäuschend …

Gruß
Trestone
 

Giacomo_S

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ob die minimalen Einheiten für Raum und Zeit wirklich wirksam existieren sehe ich noch offen.
Mir sind da endliche Modelle nicht nur wegen der Relativitätstheorie nicht so sympatisch.

John Archibald Wheeler und Oskar Klein konnten 1955 zeigen, dass die Relativitätstheorie an der Grenze zur Planck-Länge ihre Gültigkeit verliert.
Planck selbst sah die Planck-Einheiten als universelle Maßeinheiten an:
… die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten [...] aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als ‚natürliche Maasseinheiten‘ bezeichnet werden können.
– Max Planck

Wenn es einen Punkt gibt, jenseits dessen die Prinzipien von Ursache und Wirkung ihre Gültigkeit verlieren, dann ist auch die Logik bedeutungslos.

Die Stufenlogik soll ja auch zu unserem Geist passen (inkl. geistiger Ursachen),
und da wäre ein endliches Modell doch enttäuschend …

Große Zahlen lassen sich mit großen Exponenten platzsparend aufschreiben und es lässt sich bequem mit ihnen herum rechnen. Das heisst aber nicht, man hätte eine echte Vorstellung von ihrer Größe. Das merkt man meist erst dann, wenn man einmal versucht, sich solche großen Zahlen zu visualisieren.

Nehmen wir einmal an, man wollte sich eine Zahl wie 10^100 visuell vorstellen ... wir nehmen also etwas sehr kleines, was man so eben noch mit bloßem Auge sehen kann, Sandkörnchen z.B. Wir legen also Sandkörnchen auf ein Millimeterpapier, sagen wir 4 Sandkörnchen auf einen Quadratmillimeter - das kann man sich noch so eben visuell vorstellen. Und in einer nahezu endlosen Puzzle-Arbeit legen wir einen beliebig großen Bogen Millimeterpapier aus, Sandkörnchen um Sandkörnchen um Sandkörnchen ...

... um dann bei einem quadratischen Bogen Millimeterpapier zu landen, dessen Kanten sich in 1,6 x 10^40 Lichtjahren bemessen (!) - und der wäre noch um viele Größenordnungen größer als das Universum selbst, denn das ist "nur" 1,3 x 10^10 Lichtjahre im Durchmesser groß. Unser Bogen Millimeterpapier wäre aber mehr als 10^30 mal so groß wie das Universum!
Eine Zahl wie 10^100 ist endlich, in unserem Verständnis aber unendlich groß, denn selbst der Versuch einer Veranschaulichung scheitert kläglich.

Auch unser Geist ist endlich.
Ein deutsches Urgestein der SF-Literatur, dessen Namen mir jetzt leider entfallen ist, hat einmal eine Kurzgeschichte über die "Universalbibliothek" geschrieben: Eine Bibliothek, die alle möglichen Bücher komplett enthält. Eine solche Bibliothek kann es real nicht geben, berechnen lässt sie sich aber.
Zu diesem Zweck nimmt er die Zahl der notwendigen Buchstaben des Alphabets, Groß- wie Kleinbuchstaben, Satz- und Leerzeichen usw. usf.
Dann berechnet er alle möglichen Kombinationen aus allen Buchstaben auf, sagen wir, einem Buch mit 500 Seiten.

Als Ergebnis erhält er eine gigantische Bibliothek, die alle Bücher enthält, die man auf 500 Seiten schreiben kann. Die Zahl ist groß, aber nicht unendlich.
Diese Bibliothek enthält alle Werke und Ideen, die man mit Buchstaben zu Papier bringen kann - und sogar ihren eigenen Katalog. Allerdings nur einen einzigen komplett richtigen Katalog und sehr viele falsche. Sie enthält Bücher wie Shakespeares Hamlet, der nach der Hälfte dann mit "dskdjbdwe kjfv-prötsch" weiter geht. Er enthält Fassungen der Bibel, die zwischendrin Einschübe pornografischer Romane enthalten, kurz: Alles.
Auch alle jetzigen, zukünftigen, richtigen wie falschen Fassungen der Stufenlogik. ;)

Real kann man eine solche Bibliothek natürlich nicht herstellen, ja nicht einmal aufstellen und würde ewig brauchen, nur an den Regalen mit dem Auto daran vorbei zu fahren. Auch die überhaupt nur lesbaren Bücher irgendwie zu finden, wäre praktisch unmöglich. Denn der allergrößte Teil der Bbibliothek wäre unlesbarer Müll und falscher Schrott.
Das Gedankenbeispiel zeigt aber, dass die Möglichkeiten des menschlichen Geistes zwar prinzipiell groß sind, gleichwohl aber endlich.
 
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Trestone

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Hallo Giacomo_S,

das erinnert mich an das Berry-Paradox: „Die kleinste positive ganze Zahl, die nicht mit unter vierzehn Wörtern definierbar ist“.

In Stufenlogik formuliert:
„Die kleinste positive ganze Zahl, die in Stufe k nicht mit unter siebzehn Wörtern definierbar ist“.
In der Stufenlogik gehört die obige Definition zu Stufe k+1 und liefert daher keinen Widerspruch.

Dass wir über eine Zahl wie 10^100 sinnvoll reden können beweist Du ja oben selbst.

Als sterblicher Mensch kann ich wohl nur (stufenlogische) Sätze / Bücher mit endlich vielen Zeichenkombinationen produzieren,
aber wo steht geschrieben, dass nicht mehrere Lebewesen nacheinander Sätze
aneinander reihen können?

Und ich bin mir nicht sicher, ob wir die Stufe jeweils explizit benennen müssen,
nach meiner Auffassung ist sie so etwas wie die Zeit und stößt uns implizit zu
und verwandelt sich ständig dynamisch in eine andere.

Vielleicht lässt sich ja unendliche Stufenlogik gar nicht in Worte fassen – sondern nur denken?

Und z.B. beim stufenlogischen Lügnersatz genügt eine endliche Alternierungsregel,
um einen Satz mit unendlich alternierenden Wahrheitswerten zu beschreiben.

Gruß
Trestone
 

Giacomo_S

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Vielleicht lässt sich ja unendliche Stufenlogik gar nicht in Worte fassen – sondern nur denken?

Was sich nicht in Worte fassen lässt, sprich: nicht forumlieren lässt, denn auch die Mathematik ist auch nur ein System von Begrifflichkeiten, das lässt sich auch nicht denken. Für Menschen jedenfalls nicht.
 

Trestone

Großmeister
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Hallo Giacomo_S,

dass wir Menschen etwas denken und fühlen können, das sich nicht in Wort fassen lässt,
glaube ich schon – warum auch nicht –
wie denken und fühlen z.B. Kinder vor dem Spracherwerb?

Allerdings wird die Kommunikation darüber wohl schwierig –
obwohl wir auch mit Babies kommunizieren.

Für unseren Dialog hier zur Stufenlogik ist das wohl wenig nützlich.
Obwohl ich schon glaube, dass einige nichtsprachliche Intuitionen
mir beim Erstellen der formulierbaren Stufenlogik geholfen haben.

Bei der Diskussion können wir uns ja auf das Formulierbare beschränken.

Gruß
Trestone
 

Giacomo_S

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dass wir Menschen etwas denken und fühlen können, das sich nicht in Wort fassen lässt,
glaube ich schon – warum auch nicht –
wie denken und fühlen z.B. Kinder vor dem Spracherwerb?

Gar nichts, denken jedenfalls nicht.
Interessant ist doch, dass die frühesten Erinnerungen, die ein Mensch abrufen kann - und dann auch nur einzelne, prägende - wenn die Sprache schon rudimentär funktioniert. Niemand hat Erinnerungen an ein Alter jünger als 3-4 Jahre.

Bei der Diskussion können wir uns ja auf das Formulierbare beschränken.

Ich hatte da mal in der Schule einen jungen Mathematiklehrer - und der war echt cool - und da ging es um irgendeine Lösung für irgendeine 4. Ableitung o.ä. Ein Schüler meinte, dafür gäbe es das "Horner Schema" (was mir nur aufgrund der Ähnlichkeit zum "Horneberger Schiessen" im Gedächtnis blieb) und der Lehrer meinte: Was ist das "Horner Schema"?
Der Schüler gab ihm die Formelsammlung, in der das drin stand (und die wir alle hatten, als Standard), und in der dieses "Schema" in Kurzform drin stand.
Er schaute kurz drauf und meinte dann: "Das kapiere ich nicht", und damit war für ihn der Käse gegessen. ;)
Das fand ich sehr sympathisch, denn dieses "Schema", welches da neben vielem anderen aufgelistet war, kapierte auch von uns keiner, und wir fanden es absolut erfrischend, dass die verkürzte Darstellung des "Schemas" didaktisch offenbar so schlecht dargestellt war, dass sie niemand kapieren kann, nicht einmal der Mathematiklehrer mit seiner akademischen Ausbildung.

Was will uns der Autor mit diesem intellektuellen Ausflug sagen?

Trestone, bei allem Respekt: Deine Stufenlogik kapiere ich nicht, und Deine Ausführungen zum Thema ändern daran leider nichts.
Es mag Themen geben, die sich nur dem Fachmann erschliessen, andererseits kann ich als interessierter Laie vielen Themen auch eingermaßen folgen, wenn natürlich auch nicht im Detail oder im großen Ausblick.
Wenn ich allerdings den Ausführungen überhaupt nicht folgen kann, nicht einmal im Ansatz ... dann handelt es sich, meiner Lebenserfahrung zufolge, oft um Ideengebilde ohne echte Relevanz oder Substanz, wenn ich jetzt die theoretische Mathematik mal außen vor lassen will.

Deine Stufenlogik muss sich den Vorwurf gefallen lassen, dass sie so kompliziert und letztlich in ihren Konsequenzen so beliebig ist, dass von ihr keine Aussagen mehr zu erwarten sind. Eine Theorie (oder Logik) aber, die so beliebig ist, dass sie zu keinen verwertbaren Aussagen mehr führt, ist dann auch ohne Bedeutung. Oder wie der Quantenphysiker Wolfgang Pauli mal (singemäß) gesagt hat: Das lässt sich nicht einmal widerlegen.
 

Trestone

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Hallo Giacomo_S,

da ich nun schon ca. 20 Jahre meine Stufenlogik in der Wüste predige,
ist mir wohl der didaktische Eifer (abgesehen vom Talent?) etwas abhanden gekommen .

Etwas Neues zu finden ist wohl leichter als es zu kommunizieren,
da gibt es von Platon im Höhlengleichnis eine schöne Stelle
(nach Wikipedia zu einem, der von der Schau des Wahren in die Höhle zurückkehrt):

“Sollte er dennoch an seinen alten Platz zurückkehren, so müsste er sich erst wieder langsam an die Finsternis der Höhle gewöhnen.
Daher würde er einige Zeit bei der dort üblichen Begutachtung der Schatten schlecht abschneiden. Daraus würden die Höhlenbewohner folgern,
er habe sich oben die Augen verdorben. Sie würden ihn auslachen und meinen, es könne sich offenbar nicht lohnen,
die Höhle auch nur versuchsweise zu verlassen.
Wenn jemand versuchte, sie zu befreien und nach oben zu führen, würden sie ihn umbringen, wenn sie könnten.[8]

Da habe ich es doch noch gut getroffen, dass man mich nur nicht versteht.

Einen Vorschlag hätte ich noch, falls Du auch Englisch lesen kannst:

In einem englischen Thread zum Lügnersatz und zur Stufenlogik (layer logic)
habe ich mich auf Englisch bemüht, die Stufenlogik zu erklären.
Vielleicht ist das sogar verständlicher als auf Deutsch.
English: liar and layer logic

Falls Du keine weitere Zeit mehr in das Thema investieren willst,
ist das natürlich auch ok.

Vielleicht ja auch die Zeit für die Stufenlogik noch nicht reif,
und dann wäre vielleicht in 50 Jahren dieser Thread ein nettes Beispiel,
wie damals aneinander vorbeigeredet wurde ...

Gruß
Trestone
 

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