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Stufenlogik - eine denkbare Alternative? (nun vollständig)

Dieses Thema im Forum "Philosophie und Grundsatzfragen" wurde erstellt von Trestone, 12. September 2010.

  1. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo,

    back to the roots!

    Beim Versuch, das Stufenprinzip immer konsequenter anzuwenden,
    bin ich wohl über das Ziel hinausgeschossen und habe zuletzt gar Stufen auf Stufen getürmt.

    Es geht wohl einfacher, wie ich es intuitiv auch anfangs vor einigen Jahren versuchte.

    Im Wesentlichen muss ich nur eine Grundregel ändern:
    Bisher galt:
    A7: Stufen sind in sich und nach oben "blind":
    W ( W(A,t)=v, d ) = u für t >=d und beliebiges v = u oder w oder -w.

    Nun soll der Wahrheitswert von „W(A,t)=v“ gar nicht mehr stufenabhängig (von d) sein.

    Denn wenn man W(A,t) als einen (festen) Wahrheitswert interpretiert,
    sind Aussgaen über W(A,t) (wie „W(A,t)=v“) nur Aussagen über Wahrheitswerte und somit nicht stufenabhängig.

    Während man klassisch eine Aussage durch ihren Wahrheitswert W(A) ersetzen konnte,
    ist dies in der Stufenlogik nun je Stufe t= 0,1,2, … möglich:
    Je Stufe t ist A durch W(A,t) ersetzbar.

    Damit werden Aussagen über W(A,t) wieder zu klassischen Aussagen
    (allerdings lasse ich dabei noch den dritten Wahrheitswert u „unbestimmt“ zu).

    Auch alle Aussagen über alle Aussagen, alle Stufen oder die Existenz von Stufen mit bestimmten Eigenschaften (Meta-Aussagen) sind wieder klassisch.

    Die Gleichheit von Aussagen wird nun auch wieder einfacher und ist eine Meateigenschaft.
    Wir setzen:
    W(A=B) = w :<-> für alle t gilt: W ( W(A,t) = W(B,t) ) = w. und W(A=B)= f sonst.
    (ist A oder B keine Stufenaussage sondern klassisch, so setzten wir W(A,0) :=u und W(A,t):= W(A) sonst, W(B,t) analog.)

    Analog ist die Mengengleichheit eine Metaeigenschaft:

    W(M1=M2) = W ( Für alle t gilt: W(xeM1,t) = W(xeM2,t) )
    Insbesondere gilt: W(M=M)=w .

    Die Nachfolgermenge m+ zu einer Stufenmenge m
    (zur Erfüllung der Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen) lässt sich nun auch etwas vereinfachter bilden:
    W(x e m+, t+1) := W ( W(x e m, t) v W(x=m) )

    Insgesamt werden die Stufen nun nur noch „im Kern“ angewendet,
    danach sind sie entbehrlich.

    Zu klären bleibt aber weiter, weshalb uns dieser Kern im Alltag so selten begegnet…

    Gruß
    Trestone
     
  2. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo,

    das folgende Beispiel beschreibt einen Algorithmus,
    der nicht durch eine Turingmaschine umgesetzt werden kann,
    also der “Churchen These“ widerspricht.

    Das Ganze läuft wie bei Alexander mit dem gordischen Knoten,
    d.h. die Lösung ist verblüffend einfach und etwas unbefriedigend,
    nur dass hier die Stufenlogik die Rolle des Schwertes übernimmt.

    Wir definieren P(X) als „true“ in Stufe 1, und P(X) als „unendlich (Dauerschleife)“ in Stufe 2.
    Also W(P(X)= true, 1) = w; W(P(X)= true, 2) = f, W(P(X)= unendlich, 2) = w.

    Da ein Turingprogramm (mit klassischer Logik) nur genau einen Wert für P(X) annehmen kann,
    ist obige Wertebelegung für Stufe 1 und 2 nur mit Stufenlogik darstellbar,
    aber klar als (Stufenlogik-)Algorithmus erkennbar.
    Wen die Dauerschleife stört, der kann „unendlich“ durch „false“ ersetzen.

    Auch eine Definition von P(X) für alle Stufen ist kein Problem:
    Wir definieren zusätzlich:
    Für alle Stufen t>0 gilt:
    W(P(X), t+2) : = W(P(X),t).

    Das ergibt W(P(X)=true,1)=w; W(P(X)= unendlich, 2) = w; W(P(X)=true,3)=w; W(P(X)= unendlich, 4) = w; usw.

    Wir haben also eine endliche Beschreibung für alle (unendlich vielen) Stufen,
    also weiter eine (Stufen-)Algorithmus.

    Von den bei Church beschriebenen äquvivalenten Algorithmenbeschreibungen
    eignen sich wohl die WHILE-Programme am besten,
    um zu Stufenlogik-Algorithmen erweitert zu werden.

    Ihr Kernstück : WHILE x<>0 DO P; END

    Mit Stufenlogik: würde man x<>0 durch W(x<>0,t) = w ersetzen.

    Nun wäre noch eine geignete Schleife / Einbeziehung von t für die übrigen Komponenten zu finden (habe ich noch nicht),
    so müsste sich eine verallgemeinerte Beschreibung für Stufenalgorithmen finden lassen.

    Dann könnten wir zwar nicht wie Alexander ein Weltreich erobern,
    aber vielleicht damit neue Computer bauen …

    Gruß
    Trestone
     
  3. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo,

    hier nochmal eine konkrete Anwendung der Stufenlogik:
    Ein klassisches Paradoxon ist das folgende (oft Richard zugeschrieben):

    Sei m die größte natürliche Zahl, die man mit weniger als 1000 Zeichen (einer gängigen Computertastatur) darstellen kann.

    Da zu den ca. 100 Tasten mit 1000 Anschlägen nur endlich viele Zeichenketten gehören, sind so nur endlich viele Zahlen darstellbar.
    Als endliche Menge natürlicher Zahlen hat diese Menge ein Maximum m.

    Paradox ist nun, das die obige Beschreibung m mit so wenigen Zeichen beschreibt, dass auch m+1 noch mit weniger als 1000 Zeichen beschrieben wird. Da m aber maximal war, darf m+1 nicht beschreibbar sein.

    Mit Stufenlogik löst sich das wie folgt auf:
    Sei m die größte natürliche Zahl, die man mit weniger als 1000 Zeichen (einer gängigen Computertastatur) in Stufe t (bzw. beliebiger Stufe) darstellen kann.

    Das Maximum max(t) der in Stufe t mit weniger als 1000 Zeichen darstellbaren Zahlen gibt es auch hier, aber diese Eigenschaft ist erst in Stufe t+1 bekannt. Die Zahl max(t) + 1 gehört also zu Stufe t+1 und steht nicht in Widerspruch zum Maximum der Stufe t.

    (Wie man sich überlegen kann, wächst deshalb das Maximum zunächst mit t. Da aber auch t mitdargestellt werden muss, kann irgendwann nicht mehr zu einer höheren Stufe übergegangen werden und gibt es auch ein maximales t.)

    Hier sieht man, wie das Axiom, dass Eigenschaften in einer Stufe t erst ab Stufe t+1 verfügbar sind, den Widerspruch fernhält.

    Gruß
    Trestone
     
  4. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo,

    ein Problem, dass sich bei der Stufenlogik stellt,
    ist der Widerspruch zu unserer Alltagswahrnehmung:

    z.B. für Wahrnehmungsaussagen (wie z.B. A= „hier parkt ein rotes Auto“)
    nehmen wir
    1. nur jeweils genau einen Wahrheitswert (w oder f) wahr
    2. sind wir uns dabei mit anderen Menschen (in der Regel) einig.

    (Eine Außnahme evtl. bei sogenannten Necker-Figuren (wie Necker-Würfel),
    aber die ist wohl nicht grundlegend).

    Aus Sicht der Stufenlogik gibt es mehrere Erklärungen, warum die Unterschiede aus den (unendlich vielen) Stufen nicht wahrgenommen werden:

    A) alltägliche Aussagen (insbesondere Wahrnehmungsaussagen) sind meist stufenunabhängig.
    B) Alle Menschen beziehen sich (z.B. bei Wahrnehmungen) jeweils auf die gleiche Stufe, d.h. sie sind stufensynchron.
    C) ?

    Die Erklärung B) hat Parallelen zu Platons Höhlengleichnis,
    statt unendlichdimensionaler Stufen würden wir nur die Schatten auf einer Dimension/Stufe wahrnehmen.
    Dennoch könnten die Übergänge und Interaktionen zwischen wahrgenommenen Gegenständen von diesen Dimensionen/Stufen beeinflusst werden.

    Welche Erklärungen oder Widerlegungen
    (außer der naheliegendsten „Stufenlogik trifft nicht zu, da es keine Stufen gbt“)
    fallen Euch noch ein?

    Gruß
    Trestone
     
  5. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo,

    zur Stufenlogik stellt sich ja die Frage, was die dabei eingeführten „Stufen“ eigentlich sind.

    Ganz habe ich es selbst noch nicht verstanden,
    aber ein brauchbares Beispiel scheinen Ursache-Wirkungsketten zu sein.
    Denn (zumindest klassisch) sind Ursache und Wirkung (hierarchisch) geordnet,
    d.h. die Ursache hat Einfluss auf die Wirkung,
    aber nicht umgekehrt.
    Ähnlich ist es bei den Stufen der Stufenlogik:
    Eine Aussage hat in Stufe t einen Wahrheitswert und kann ggf. zur Definition des Wahrheitswertes
    einer Aussage in Stufe t+1 benutzt werden, aber nicht umgekehrt.

    Ursachen lassen sich also einer niedrigeren Stufe t
    und Wirkungen einer höheren Stufe t+1 zuordnen.
    Über geeignete Ketten kommen wir so zu (fast) beliebig hohen Stufen.

    Will man umgekehrt eine Ursache-Wirkungs-Kette starten,
    so kann man zwei stufenlogische Besonderheiten ausnutzen:

    Zum einen gibt es die Stufe 0 als absoluten Nullpunkt,
    d.h. jede stufenlogische Kette hat einen natürlichen Startpunkt
    (und kann nicht wie sonst aus dem „Unendlichen“ kommen).

    Zum anderen gilt:
    Egal wie hoch man in einer stufenlogischen Kette (mit einer Aussage A zur Stufe t) schon ist,
    durch Bildung der Metaaussage „W(A,t)=w“ kann man wieder auf Stufe 1 „herunter“
    und ggf. eine neue Kette starten.
    (Mit Bezug auf meinen jüngsten Urlaub nenne ich das „the Irish slide“).

    Ich finde, das Ganze ähnelt wesentlichen Punkten
    unseres intuitiven Verständnises des Geist-Körper-Zusammenwirkens,
    aber das hier nur als Exkurs.

    Auch wenn mit Hume Zweifel bei konkreten Ursache-Wirkungs-Beziehungen bleiben,
    sind sie doch das bisher Konkreteste was ich als Beispiele für Stufen angeben kann.

    Gruß
    Trestone
     
  6. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo,

    in der Stufenlogik hatte ich die natürlichen Zahlen über die folgende Nachfolgermengenbildung eingeführt:

    Die Nachfolgermenge m+ zu einer Stufenmenge m ist definiert:
    W(x e m+, t+1) := W ( W(x e m, t) v W(x=m,1) )
    Damit werden (leicht angepasste) Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen erfüllt.
    Allerdings sind die dabei entstehenden „natürlichen Zahlen“ m erst für höhere Stufen konstant (d.h. gleiche Elemente),
    für niedrigeStufen t<m haben sie jew. weniger Elemente,
    d.h. sie sind in gewissen Bereichen stufenabhängig.

    Nun könnte man die Nachfolgemenge m` aber auch weniger stufenhierarchisch definieren,
    und ausnutzen, dass wenn m schon für alle Stufen definiert ist,
    man auch Werte zu m von Stufe t+1 zu Definitionen nutzen kann.
    Konkret: W(x e m`, t+1) := W ( W(x e m, t+1) v W(x=m,1) )
    Diese Definition ist näher an den klassischen natürlichen Zahlen, die entstehenden Mengen wären vermutlich stufenunabhängig.
    Allerdings habe ich die Peano-Axiome etc.dazu noch nicht vollständig überprüft.

    Insgesamt kann man vielleicht die echte Stufenhierarchie (Definition in Stufe t+1 nur mit Stufen <=t) etwas reduzieren
    und auf die echt problematischen Fälle (wie Selbstbezügliche oder Undefiniertes) einschränken.

    Ob man dann aber auch wieder Probleme des klassischen Ansatzes (wie Gödelscher Unvollsändigkeitssatz) mit einlässt,
    überblicke ich im Moment noch nicht …

    Gruß
    Trestone
     
  7. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo,

    vielleicht helfen ja Beispiele, um die Stufenlogik zu erläutern
    und jemand zu einem Kommentar (gern auch Frage) zu ermuntern:

    1) Wahrnehmungsaussage

    A:= „Ich sehe ein rotes Auto“.
    Diese klassische Aussage kann wahr oder falsch sein: W(A)=w oder W(A)=f.

    In Stufenlogik kann diese Aussage je Stufe t einen Wahrheitswert annehmen:
    W(A,t) = w oder f oder u.
    In der Praxis wird man für konkrete Wahrnehmungen wohl keine Stufenunterschiede benötigen
    (und auch nicht den dritten Wahrheitswert u).
    Daher nur der Sonderfall für Stufe 0 wie immer: W(A,0)=u
    und W(A,t)=w oder W(A,t)=f für alle t>0.

    So wäre auch erklärt, warum wir uns bei konkreten Aussagen nicht erst über die Stufe einigen müsssen,
    wenn wir den Wahrheitswert bestimmen.

    2) Implizit undefinierte bzw. selbstreferentielle Aussage

    B:= „Diese Aussage ist nicht wahr“
    Für diese Aussage gilt klassisch weder der Wahrheitswert w noch der Wert f.

    In Stufenlogik muss man für „wahr“ noch die Stufe ergänzen:

    SB:= „Diese Aussage ist in Stufe t+1 wahr, wenn sie in Stufe t nicht wahr ist“

    Hier gilt W(SB,0)=u. Damit W(SB,1) = W(W(SB,0) -= w,1) = w
    Damit W(SB,2)= W(W(SB,1) -= w,1) = f , W(SB,3)= w, W(SB,4)= w usw.

    Hier gibt es also eine echte Stufenabhängigkeit.

    In der Praxis scheinen die Fälle der zweiten Art ehr selten zu sein,
    daher kam man bisher auch ohne Stufen aus.

    Ob sich der Aufwand mit Stufen lohnt (zumindest für Spezialisten)
    ist wohl Geschmackssache…

    Gruß
    Trestone
     
  8. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo,

    Heute versuche ich einmal,
    die aus der Stufenlogik abgeleitete Stufenmengenlehre (STM)
    mit der methodisch ähnlichen Typentheorie von Russell (TT)
    und der heute in der Mathematik gängigen ZFC-Mengenlehre (ZFC) zu vergleichen.

    Links:

    STM hier nach der Stufenlogik als abgeleitete Mengenlehre
    oben in diesem thread (teilweise) definiert.

    Typentheorie von Russell (TT): http://de.wikipedia.org/wiki/Typentheorie

    ZFC-Mengenlehre (ZFC): http://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

    Gemeinsamkeiten:

    Alle drei haben einen axiomatischen Ansatz und sind Fortsetzungen einer Logik.
    Mit allen dreien lassen sich natürliche Zahlen mit Arithmetik darstellen.

    Alle drei habe einige Axiome, die mir nicht ganz einleuchtend erscheinen
    (das sind eigentlich schon Unterschiede):

    Bei TT ist dies der Grundansatz:

    Nach der Typentheorie gibt es einfache Mengen, welche lediglich Urelemente, aber keine Mengen als Elemente enthalten können; Mengen des zweiten Typs können nur einfache Mengen enthalten, Mengen des dritten Typs nur Mengen des zweiten Typs usw. Mengen haben also einen um eins höheren Typ als ihre Elemente.
    In unserer „Praxis“ tauchen solche Typen und Hierarchien aber nicht auf.

    Bei ZFC sehe ich u.a. folgende Axiome kritisch:
    Fundierungsaxiom oder Regularitätsaxiom: Jede nichtleere Menge A enthält ein Element B, so dass A und B disjunkt sind.
    Das erscheint mir etwas „technisch“ und nicht als „axiomswürdig“.
    Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge A, die die leere Menge und mit jedem Element x auch die Nachfolgermenge enthält (vgl. Induktive Menge).
    Schöner wäre es, wenn sich auch unendliche Mengen „natürlich“ ergäben.

    Bei der von mir eingeführten STM sehe ich v.a. folgendes kritisch:

    Schon das Kern-Axiom der Stufenlogik ist uns aus der „Praxis“ ähnlich wenig vertraut wie die Typenhierarchie:
    Wahrheitswertstufen-Axiom: Aussagen A sind stufenlose Gebilde, deren Wahrheitswert wir nur bezogen auf eine Stufe t erkennen können (t = 0,1,2,…)
    (Bei Aussagen über Wahrheitswerte ist also jeweils eine Bezugsstufe anzugeben, d.h. „W(A,t)=…“)

    Unterschiede:
    Im Gegensatz zu TT und ZFC, die auf klassischer Logik aufbauen,
    setzt STM die davon abweichende Stufenlogik voraus.

    In ZFC und TT ist die Russellmenge R (alle x, die x –e x erfüllen) keine zulässige Menge.
    In STM ist R eine zulässige Menge,
    die sich allerdings alternierend in Stufen selbst als Element enthält oder nicht.

    In ZFC gibt es unendlich viele unterschiedliche Unendlichkeiten, bei TT weiß ich das nicht.
    Bei STM gibt es nur eine Art von Unendlichkeit, da die Cantorschen Diagonalbeweise wegen der Stufen nicht mehr greifen.

    In ZFC und TT ist die Allmenge All (Menge aller Mengen) keine zulässige Menge.
    In STM ist All eine zulässige Menge,
    die sogar mit ihrer Potenzmenge zusammenfällt.

    Welche Mengenlehre (und Logik) man nun bevorzugt ist wohl Geschmackssache,
    allerdings ist die Stufenmengenlehre wohl außerhalb von hier praktisch unbekannt.

    Gruß
    Trestone
     
  9. SimonSt

    SimonSt Lehrling

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    Formulierung des Lügner-Paradox

    Hallo Trestone,
    melde mich nach langer Zeit zurück.

    Ich interessiere mich dafür wie das Lügnerparadox in einer Logik formuliert wird. Wenn ich das richtig sehe, ordnest Du dem Satz L, welcher das Lügner-Paradox darstellen soll, nur Wahrheitswerte zu. Wie aber wird er formal hingeschrieben?

    Die Prädikatenlogik kennt kein Wahrheits-Prädikat W, dass auf einen Satz angewendet werden kann, etwa W(A), was behaupten würde, dass der Satz A wahr sein soll. Benutzt Du dafür eine Gödelisierung der Sätze einer Logik, also ordnest Du den Sätzen eine Zahl zu?

    VG Simon
     
  10. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo Simon,

    schön wieder von Dir zu hören!

    Mit formalen Feinheiten habe ich mich bisher kaum befasst,
    in den Augen der meisten Forenmitglieder bin ich dennoch noch viel zu formal unterwegs ...

    Jedenfalls habe ich bisher zur Stufenlogik keine Gödelzahlen oder ähnliches betrachtet.

    Die Wahrheitsfunktion W(A) habe ich einfach naiv als gegeben vorausgesetzt
    und für dieStufenlogik dann zu W(A,t) modifiziert.

    Inzwischen habe ich mir das Buch von Professor Ulrich Blau "Die Logik der Unbestimmtheiten und Paradoxien" besorgt.
    Vgl. dazu
    http://echnaton.pbworks.com/w/page/10185883/Ulrich Blau

    Sehr interessant aber auch anstrengend formal!
    Er hat tatsächlich vor mir mit der Reflexionslogik eine Logik entwickelt,
    die in vielen Punkten der Stufenlogik ähnelt - und oft noch tiefer geht.

    Offen bleibt für mich, weshalb Professor Blau diese Logik nicht auf die Mengenlehre anwendet,
    und das "Cantorsche Paradies" der unendlich vielen Unendlichkeiten beibehält.
    (Die Stufenmengenlehre kommt ja ohne Überabzählbarkeit aus).

    Vielleicht habe ich da etwas zu einfach gesehen -
    oder konnte mir als Außenstehender leichter einen neuen Blick erlauben?

    Gruß
    Trestone
     
  11. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo Simon,

    ich habe noch einmal herausgesucht,
    was ich zum Lügner aufgeschrieben habe:

    Anwendungsbeispiele zur Lügnerantnomie:

    L:= „Diese Aussage L ist nicht wahr“

    Ü1: Übersetzungmöglichkeit 1 in Stufenlogik:

    Für alle t>=0 gilt:
    Aussage L1 ist in Stufe t+1 als wahr definiert,
    genau wenn sie in Stufe t nicht wahr ist -
    und L1 ist sonst als –w definiert.

    t=0: Nach A4 gilt: W(L1,0)=u
    Daher W(L1,0+1) = w (denn W(L1,0)=u und damit „nicht wahr“)
    Daher W(L1,1+1) = -w (denn W(L1,1)=w und damit nicht „nicht wahr“)
    usw., also W(L1) = (u,w,-w,w,-w,w, …)
    Die Antinomie wird also über alternierende Wahrheitswerte in den Stufen aufgelöst.

    Ü2: Übersetzungmöglichkeit 2 in Stufenlogik:

    Metalügner: ML:= Diese Aussage ist für alle Stufen nicht wahr“

    Zur Analyse prüfen wir die Meta-Aussagen Eigenschaft (A9) von ML:
    Annahme, W(ML,1)=w. Dann nach Inhalt von ML auch W(ML,1)=-w oder =u. Widerspruch!
    Annahme W(ML,1)=-w. Dann existiert t0>0 mit W(ML,t0)=w,
    und damit W(ML,t0) =-w oder =u. Widerspruch!
    Also kann weder W(ML,1)= w noch W(ML,1)=-w gelten.
    Also ist ML nach A9 keine zulässige Stufenaussage.
    Die Antinomie wird also durch Einschränkung von Metaaussagen ausgeschlossen.

    Ü3: Analog zu Ü1/Ü2 ggf. für weitere Lügner-Varianten.

    Vielleicht hilft Dir das ein wenig.

    Gruß
    Trestone
     
  12. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Franken
    Hallo,

    ich habe mir den Beweis zu Gödels Unvollständigkeitssatz noch einmal angesehen,
    zentral scheint mir ein Diagonalisierungselement zu sein.
    Dieses ist in der Stufenlogik nicht mehr gültig,
    was die hübsche Konsequenz hat,
    dass die aus der Stufenlogik abgeleitete Mathematik wohl vollständig sein kann,
    im Gegensatz zur klassischen (und auch konstruktivistischen) Mathematik.

    Vielleicht ein Grund mehr, sich auf die
    (zugegebenermaßen etwas koplizierte und ungewöhnliche)
    Stufenlogik einzulassen ...

    Gruß
    Trestone
     
  13. SimonSt

    SimonSt Lehrling

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    Hallo Trestone und an alle die diesen Thread verfolgen,
    hab hier lange nicht reingeschaut.

    Ich teile einige Ansichten mit Dir. Obwohl ich mittlerweile ein Buch über Diagonalisierungen in der Mathematik geschrieben habe, trau ich diesem Verfahren nicht ganz. Dies betrifft vor allem den Gödelschen Unvollständigkeitssatz.

    Ich kann mir nicht vorstellen, dass die Logik Aussagen über sich selbst machen kann. Also, dass der Gödelsche Unvollständigkeitssatz selbst vollständig in der Prädikatenlogik erster Stufe formulierbar ist. Der Satz benutzt zwei Sprachebenen damit die Logik über sich selbst reden kann. Ist ein Beweis in der Prädikatenlogik erster Stufe formulierbar, ist der Beweis nicht mehr als ein syntaktisches Umformen von Symbolen. Mir ist daher nicht klar, wie man da mit zwei Sprachebenen arbeiten kann. Meiner Ansicht nach ist der Beweis nur führbar, wenn ein Mathematiker zusätzliche Interpretationsschritte einbaut, die nicht durch syntaktisches Umformen abgebildet werden können.

    Bei dem Logikbuch von "Blau" stimme ich Dir zu. Er hat sicher gute Ideen, aber das Buch ist so formal, dass es praktisch unlesbar ist. Gerne würde ich die Schritte verstehen, wie man in die Logik die eigene Metatheorie aufnehmen kann.

    Überabzählbarkeit finde ich auch überflüssig. Schon die herkömliche Logik zeigt, dass die Mengenlehre ein abzählbares Modell besitzt (Stichwort Skolemparadoxon). Deshalb denke ich, dass ALLE Aussagen, die überabzählbare Strukturen betreffen, Aussagen sind, die auch im Abzählbaren nachvollzogen werden können.

    VG Simon
     
  14. streicher

    streicher Ehrenmitglied

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    Re: Ich denek ich mache dann einen neuen Thread

    Hallo Simon,
    gerade lese ich mich in den Threads von dir und von Trestone ein wenig ein und ich finde das alles sehr interessant, was ihr schreibt. Du hast angedeutet, dass du mal über Metzigers Ansatz eine Zusammenfassung schreibst. Ist dein Thread zur Selbstreferentialität dazu einschlägig? Vielleicht könntest du auch den Link setzen, von dem du oben geschrieben hast. Wär klasse. :)
    Besten Gruß, streicher
     
  15. SimonSt

    SimonSt Lehrling

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    Metzingers Selbstmodelltheorie

    Hallo Streicher,
    als ich was zu Metzingers Selbstmodelltheorie hier geschrieben habe, war ich gerade dabei mich in das Thema Bewusstsein einzulesen.

    Mittlerweile sind Jahre vergangen und ich habe in der Zeit eine intensive Diskussionsgruppe mit zwei Freunden zu dem Thema gepflegt. Ich habe mittlerweile sehr viel zu künstlicher Intelligenz und besonders zur Metakognition gelesen. Aus den Diskussionen ist nun ein eigenes Modell zur Metakognition und Bewusstsein hervorgegangen, welches ich wohl noch in diesem Jahr veröffentlichen will. Das Modell stellt eine Verknüpfung her von den "low-Level" Prozessen der Feature-Detektion (Stichwort Deep-Learning) bis hin zu "high-Level" Prozessen der Metakognition.

    Wer sich für die Metzinger Sachen interessiert sollte sich seine Youtube-Vorlesungen zum Bewusstsein anschauen. Sein Modell ist Part 12-14.

    Wen es interessiert, was ich da gerade entwickele, der schreibe mir ne persönliche Nachricht.

    VG Simon
     
  16. streicher

    streicher Ehrenmitglied

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    Hallo Simon,

    bei mir ist es schon ein wenig her, dass ich mich mit Neurowissenschaften beschäftigt habe. Und es war auch nur kurz. Darauf gebracht hat mich ein Biologielehrer und er drückte mir ein Buch von Gerhard Roth in die Hand. Ich meine, es war der Titel (2001) Fühlen, Denken, Handeln. Wie das Gehirn unser Verhalten steuert. Man könnte quasi (u.a.) aus der Hirnforschung schließen: "Wir leben nicht, wir werden gelebt." Auf jeden Fall fühle ich mich wieder angespornt, mich mit dem Thema Bewusstsein zu beschäftigen.

    Besten Gruß
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  17. Lan_Zelot

    Lan_Zelot Meister

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    Religion vertragen die meisten Menschen in geringer Dosis, ohne größere geistige oder körperliche Schäden davon zu tragen, deshalb:

    „Allah erschuf die Dinge aus dem Nichts. Und vor ihrer Erschaffung wusste Er bereits von ihnen. Allah ist es, der alle Dinge festlegt und vorherbestimmt. Nichts existiert im Diesseits und im Jenseits ohne Seinen Willen, Sein Wissen, Seine Festlegung, Seine Vorherbestimmung.“
     
  18. streicher

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    Die Sache mit der Vorherbestimmung. Wird gewürfelt oder wird es nicht? Lassen sich die Möglichkeiten der Abläufe in einem Universum durchrechnen? Programmieren die Quanten?. Gibt es ähnliche und ganz andere Universen? Gibt es zum Beispiel ein weiteres "Du" oder sogar viele? Wird die "Wirklichkeit" wiederholt? (...)
     
  19. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo,

    die „Stufenlogik“ hat in der „Typenhierarchie“ von Russell ja einen prominenten Vorgänger,
    der sich letztlich nicht durchsetzen konnte.

    Meines Wissens waren das v.a. zwei Gründe:
    1. Die Typenhierarchie erschien als sehr willkürlich und „ad hoc“ und verkomplizierte die Logik – und schloß zudem viele Aussagen aus (Stichwort Selbstbezug).
    2. Die Typenhierarchie konnte Gödels Unvollständigkeitssätze nicht vermeiden.
    (Analoges gilt wohl für die konstruktivistische Logik.)

    Ich will bei der Stufenlogik mit offenen Karten spielen, denn auch dort sind „ad hoc“ Annahmen eingeflossen,
    da aber wohl die Gödelschen Unvollständigkeitssätze nicht mehr gelten,
    lohnt wohl ein zweiter Blick auf diese Annahmen:

    A) Stufen
    A1: Es gibt eine induktive Menge T von Stufen: t= 0,1,2,3,…
    (von T werden keine multiplikativen Eigenschaften benötigt, nur Nachfolgerordnung und Induktion, T und t wurden als Buchstaben gewählt, weil die Stufen in manchen Punkten der Zeit ähnlich sind)

    A2: Aussagen A sind stufenlose Gebilde, deren Wahrheitswert wir nur bezogen auf eine Stufe t erkennen können.
    (Bei Aussagen über Wahrheitswerte ist also jeweils eine Bezugsstufe anzugeben, d.h. „W(A,t)=…“)

    A2b:
    Der (logische) „Wahrheitswert“ einer Aussage ist der (unendliche) Vektor ( W(A,0), W(A,1), W(A,2), … ).

    A3: Je Stufe t kann der Wahrheitswert einer Aussage A genau einen der Wahrheitswerte w, -w, u annehmen.
    (Es liegt also eine dreiwertige Logik zu Grunde, das ist aber nicht entscheidend und mehr formal; die Negation von u ist u).

    A8: Man kann eine Aussage A (stufenlogisch) definieren, indem man den Wert W(A,t) für jede Stufe t festlegt.
    Dies ist auch rekursiv möglich, indem W(A,t+1) mittels W(A,t) festgelegt wird.
    Dabei können auch beliebige schon definierte Werte W(B,d) und Metaaussagewerte benutzt werden.
    z.B. W(L,t+1) := W( W(L,t)=-w v W(L,t)=u,1 )
    In der Praxis beschränke ich mich auf endlich beschreibbare Definitionsschemata.

    Die mit diesen Axiomen/Regeln definierte Stufenlogik lässt selbstbezügliche Aussagen zu, allerdings können diese (wie die Lügneraussage) unterschiedliche Wqahrheitswerte je Stufe t annehmen.

    B) Startstufe 0
    A4: In Stufe 0 sind alle Aussagen unbestimmt.
    VA: W(A,0)=u
    (Eine Art Verankerung, geistiger „Urknall“, u als Startpunkt aus Symmetriegründen)

    Diese Festlegung ist zwar willkürlich, aber da sie „symmetrisch“ bzgl. wahr und falsch erfolgt,
    ein plausibler Startpunkt.
    Nicht über Stufe 0 zurückzugehen hat den Vorteil, dass alle Begründungsketten einen natürlichen Anfang haben und kein unendlicher Regress möglich ist.

    C) Metaaussagen
    A6: (Meta-)Aussagen über Stufen t sind ab Stufe 1 in allen Stufen stets w oder stets –w (also weitgehend wie klassische Aussagen).
    Bei Metaaussagen M gilt W(M,1)=W(M,2)=W(M,3)=…

    A7: (Meta-)Aussagen über Wahrheitswerte „W(A,t)=…“ sind ab Stufe 1 stets w oder stets –w
    Also W( W(A,t)=w, 1 ) = W( W(A,t)=w, 2 ) = W( W(A,t)=w, t ) = W( W(A,t)=w, t+1 ) = …

    Mit diesen Reglen für Metaaussagen wird erreicht, dass keine „Überstufe“ für Aussagen über Stufen benötigt wird,
    sondern dass alles innerhalb der Stufenlogik bearbeitet werden kann.

    D) Diagonalisierung
    AD: Eine Eigenschaft aus Stufe t ( wie W(A,t) oder W(x e M, t) ) ist erst in Stufe t+1 bekannt bzw. für Definitionen verfügbar.

    Damit treten bei den Cantorschen und Gödelschen Diagonalisierungen unterschiedliche Stufen auf und die zugehörigen Beweise sind in Stufenlogik nicht mehr gültig.

    Insgesamt ist aber wohl die Bereitschaft für alternative Logiken dieser Art so gering,
    dass sich selbst wenn damit die Gödelschen Unvollständigkeitssätze umgehbar wären,
    sich wohl allenfalls nur Einzelne damit befassen würden (zumal bei dieser Hitze)…

    Gruß
    Trestone
     
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    Hallo Trestone,

    die Hitze hat hier im Süden heute wohl ihr Ende gefunden und geht gerade in Regen unter. :wink:

    Die große Mehrheit der Leserschaft muss sich sicherlich u.a. auch die Cantorschen und Gödelschen Diagonalisierungen zu Gemüte führen, bevor sie irgendwann auf Augenhöhe diskutieren könnte. Ist denn das Interesse an einer alternativen Logik generell klein oder gibt es auch Ansätze zur Diskussion an Lehrstühlen? Weißt du da was? Diskutierst du denn mit Leuten auch "bei einem Gläschen Bier" über deinen Ansatz?
    Siehst du zum Beispiel eine Notwendigkeit, die gängigen Ansätze zu überdenken?

    Besten Gruß
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