Stufenlogik - eine denkbare Alternative? (nun vollständig)

Hallo,

back to the roots!

Beim Versuch, das Stufenprinzip immer konsequenter anzuwenden,
bin ich wohl über das Ziel hinausgeschossen und habe zuletzt gar Stufen auf Stufen getürmt.

Es geht wohl einfacher, wie ich es intuitiv auch anfangs vor einigen Jahren versuchte.

Im Wesentlichen muss ich nur eine Grundregel ändern:
Bisher galt:
A7: Stufen sind in sich und nach oben "blind":
W ( W(A,t)=v, d ) = u für t >=d und beliebiges v = u oder w oder -w.

Nun soll der Wahrheitswert von „W(A,t)=v“ gar nicht mehr stufenabhängig (von d) sein.

Denn wenn man W(A,t) als einen (festen) Wahrheitswert interpretiert,
sind Aussgaen über W(A,t) (wie „W(A,t)=v“) nur Aussagen über Wahrheitswerte und somit nicht stufenabhängig.

Während man klassisch eine Aussage durch ihren Wahrheitswert W(A) ersetzen konnte,
ist dies in der Stufenlogik nun je Stufe t= 0,1,2, … möglich:
Je Stufe t ist A durch W(A,t) ersetzbar.

Damit werden Aussagen über W(A,t) wieder zu klassischen Aussagen
(allerdings lasse ich dabei noch den dritten Wahrheitswert u „unbestimmt“ zu).

Auch alle Aussagen über alle Aussagen, alle Stufen oder die Existenz von Stufen mit bestimmten Eigenschaften (Meta-Aussagen) sind wieder klassisch.

Die Gleichheit von Aussagen wird nun auch wieder einfacher und ist eine Meateigenschaft.
Wir setzen:
W(A=B) = w :<-> für alle t gilt: W ( W(A,t) = W(B,t) ) = w. und W(A=B)= f sonst.
(ist A oder B keine Stufenaussage sondern klassisch, so setzten wir W(A,0) :=u und W(A,t):= W(A) sonst, W(B,t) analog.)

Analog ist die Mengengleichheit eine Metaeigenschaft:

W(M1=M2) = W ( Für alle t gilt: W(xeM1,t) = W(xeM2,t) )
Insbesondere gilt: W(M=M)=w .

Die Nachfolgermenge m+ zu einer Stufenmenge m
(zur Erfüllung der Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen) lässt sich nun auch etwas vereinfachter bilden:
W(x e m+, t+1) := W ( W(x e m, t) v W(x=m) )

Insgesamt werden die Stufen nun nur noch „im Kern“ angewendet,
danach sind sie entbehrlich.

Zu klären bleibt aber weiter, weshalb uns dieser Kern im Alltag so selten begegnet…

Gruß
Trestone

 

Hallo,

das folgende Beispiel beschreibt einen Algorithmus,
der nicht durch eine Turingmaschine umgesetzt werden kann,
also der “Churchen These“ widerspricht.

Das Ganze läuft wie bei Alexander mit dem gordischen Knoten,
d.h. die Lösung ist verblüffend einfach und etwas unbefriedigend,
nur dass hier die Stufenlogik die Rolle des Schwertes übernimmt.

Wir definieren P(X) als „true“ in Stufe 1, und P(X) als „unendlich (Dauerschleife)“ in Stufe 2.
Also W(P(X)= true, 1) = w; W(P(X)= true, 2) = f, W(P(X)= unendlich, 2) = w.

Da ein Turingprogramm (mit klassischer Logik) nur genau einen Wert für P(X) annehmen kann,
ist obige Wertebelegung für Stufe 1 und 2 nur mit Stufenlogik darstellbar,
aber klar als (Stufenlogik-)Algorithmus erkennbar.
Wen die Dauerschleife stört, der kann „unendlich“ durch „false“ ersetzen.

Auch eine Definition von P(X) für alle Stufen ist kein Problem:
Wir definieren zusätzlich:
Für alle Stufen t>0 gilt:
W(P(X), t+2) : = W(P(X),t).

Das ergibt W(P(X)=true,1)=w; W(P(X)= unendlich, 2) = w; W(P(X)=true,3)=w; W(P(X)= unendlich, 4) = w; usw.

Wir haben also eine endliche Beschreibung für alle (unendlich vielen) Stufen,
also weiter eine (Stufen-)Algorithmus.

Von den bei Church beschriebenen äquvivalenten Algorithmenbeschreibungen
eignen sich wohl die WHILE-Programme am besten,
um zu Stufenlogik-Algorithmen erweitert zu werden.

Ihr Kernstück : WHILE x<>0 DO P; END

Mit Stufenlogik: würde man x<>0 durch W(x<>0,t) = w ersetzen.

Nun wäre noch eine geignete Schleife / Einbeziehung von t für die übrigen Komponenten zu finden (habe ich noch nicht),
so müsste sich eine verallgemeinerte Beschreibung für Stufenalgorithmen finden lassen.

Dann könnten wir zwar nicht wie Alexander ein Weltreich erobern,
aber vielleicht damit neue Computer bauen …

Gruß
Trestone

 

Hallo,

hier nochmal eine konkrete Anwendung der Stufenlogik:
Ein klassisches Paradoxon ist das folgende (oft Richard zugeschrieben):

Sei m die größte natürliche Zahl, die man mit weniger als 1000 Zeichen (einer gängigen Computertastatur) darstellen kann.

Da zu den ca. 100 Tasten mit 1000 Anschlägen nur endlich viele Zeichenketten gehören, sind so nur endlich viele Zahlen darstellbar.
Als endliche Menge natürlicher Zahlen hat diese Menge ein Maximum m.

Paradox ist nun, das die obige Beschreibung m mit so wenigen Zeichen beschreibt, dass auch m+1 noch mit weniger als 1000 Zeichen beschrieben wird. Da m aber maximal war, darf m+1 nicht beschreibbar sein.

Mit Stufenlogik löst sich das wie folgt auf:
Sei m die größte natürliche Zahl, die man mit weniger als 1000 Zeichen (einer gängigen Computertastatur) in Stufe t (bzw. beliebiger Stufe) darstellen kann.

Das Maximum max(t) der in Stufe t mit weniger als 1000 Zeichen darstellbaren Zahlen gibt es auch hier, aber diese Eigenschaft ist erst in Stufe t+1 bekannt. Die Zahl max(t) + 1 gehört also zu Stufe t+1 und steht nicht in Widerspruch zum Maximum der Stufe t.

(Wie man sich überlegen kann, wächst deshalb das Maximum zunächst mit t. Da aber auch t mitdargestellt werden muss, kann irgendwann nicht mehr zu einer höheren Stufe übergegangen werden und gibt es auch ein maximales t.)

Hier sieht man, wie das Axiom, dass Eigenschaften in einer Stufe t erst ab Stufe t+1 verfügbar sind, den Widerspruch fernhält.

Gruß
Trestone

 

Hallo,

ein Problem, dass sich bei der Stufenlogik stellt,
ist der Widerspruch zu unserer Alltagswahrnehmung:

z.B. für Wahrnehmungsaussagen (wie z.B. A= „hier parkt ein rotes Auto“)
nehmen wir
1. nur jeweils genau einen Wahrheitswert (w oder f) wahr
2. sind wir uns dabei mit anderen Menschen (in der Regel) einig.

(Eine Außnahme evtl. bei sogenannten Necker-Figuren (wie Necker-Würfel),
aber die ist wohl nicht grundlegend).

Aus Sicht der Stufenlogik gibt es mehrere Erklärungen, warum die Unterschiede aus den (unendlich vielen) Stufen nicht wahrgenommen werden:

A) alltägliche Aussagen (insbesondere Wahrnehmungsaussagen) sind meist stufenunabhängig.
B) Alle Menschen beziehen sich (z.B. bei Wahrnehmungen) jeweils auf die gleiche Stufe, d.h. sie sind stufensynchron.
C) ?

Die Erklärung B) hat Parallelen zu Platons Höhlengleichnis,
statt unendlichdimensionaler Stufen würden wir nur die Schatten auf einer Dimension/Stufe wahrnehmen.
Dennoch könnten die Übergänge und Interaktionen zwischen wahrgenommenen Gegenständen von diesen Dimensionen/Stufen beeinflusst werden.

Welche Erklärungen oder Widerlegungen
(außer der naheliegendsten „Stufenlogik trifft nicht zu, da es keine Stufen gbt“)
fallen Euch noch ein?

Gruß
Trestone

 

Hallo,

zur Stufenlogik stellt sich ja die Frage, was die dabei eingeführten „Stufen“ eigentlich sind.

Ganz habe ich es selbst noch nicht verstanden,
aber ein brauchbares Beispiel scheinen Ursache-Wirkungsketten zu sein.
Denn (zumindest klassisch) sind Ursache und Wirkung (hierarchisch) geordnet,
d.h. die Ursache hat Einfluss auf die Wirkung,
aber nicht umgekehrt.
Ähnlich ist es bei den Stufen der Stufenlogik:
Eine Aussage hat in Stufe t einen Wahrheitswert und kann ggf. zur Definition des Wahrheitswertes
einer Aussage in Stufe t+1 benutzt werden, aber nicht umgekehrt.

Ursachen lassen sich also einer niedrigeren Stufe t
und Wirkungen einer höheren Stufe t+1 zuordnen.
Über geeignete Ketten kommen wir so zu (fast) beliebig hohen Stufen.

Will man umgekehrt eine Ursache-Wirkungs-Kette starten,
so kann man zwei stufenlogische Besonderheiten ausnutzen:

Zum einen gibt es die Stufe 0 als absoluten Nullpunkt,
d.h. jede stufenlogische Kette hat einen natürlichen Startpunkt
(und kann nicht wie sonst aus dem „Unendlichen“ kommen).

Zum anderen gilt:
Egal wie hoch man in einer stufenlogischen Kette (mit einer Aussage A zur Stufe t) schon ist,
durch Bildung der Metaaussage „W(A,t)=w“ kann man wieder auf Stufe 1 „herunter“
und ggf. eine neue Kette starten.
(Mit Bezug auf meinen jüngsten Urlaub nenne ich das „the Irish slide“).

Ich finde, das Ganze ähnelt wesentlichen Punkten
unseres intuitiven Verständnises des Geist-Körper-Zusammenwirkens,
aber das hier nur als Exkurs.

Auch wenn mit Hume Zweifel bei konkreten Ursache-Wirkungs-Beziehungen bleiben,
sind sie doch das bisher Konkreteste was ich als Beispiele für Stufen angeben kann.

Gruß
Trestone

 

Hallo,

in der Stufenlogik hatte ich die natürlichen Zahlen über die folgende Nachfolgermengenbildung eingeführt:

Die Nachfolgermenge m+ zu einer Stufenmenge m ist definiert:
W(x e m+, t+1) := W ( W(x e m, t) v W(x=m,1) )
Damit werden (leicht angepasste) Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen erfüllt.
Allerdings sind die dabei entstehenden „natürlichen Zahlen“ m erst für höhere Stufen konstant (d.h. gleiche Elemente),
für niedrigeStufen t<m haben sie jew. weniger Elemente,
d.h. sie sind in gewissen Bereichen stufenabhängig.

Nun könnte man die Nachfolgemenge m` aber auch weniger stufenhierarchisch definieren,
und ausnutzen, dass wenn m schon für alle Stufen definiert ist,
man auch Werte zu m von Stufe t+1 zu Definitionen nutzen kann.
Konkret: W(x e m`, t+1) := W ( W(x e m, t+1) v W(x=m,1) )
Diese Definition ist näher an den klassischen natürlichen Zahlen, die entstehenden Mengen wären vermutlich stufenunabhängig.
Allerdings habe ich die Peano-Axiome etc.dazu noch nicht vollständig überprüft.

Insgesamt kann man vielleicht die echte Stufenhierarchie (Definition in Stufe t+1 nur mit Stufen <=t) etwas reduzieren
und auf die echt problematischen Fälle (wie Selbstbezügliche oder Undefiniertes) einschränken.

Ob man dann aber auch wieder Probleme des klassischen Ansatzes (wie Gödelscher Unvollsändigkeitssatz) mit einlässt,
überblicke ich im Moment noch nicht …

Gruß
Trestone

 

Hallo,

vielleicht helfen ja Beispiele, um die Stufenlogik zu erläutern
und jemand zu einem Kommentar (gern auch Frage) zu ermuntern:

1) Wahrnehmungsaussage

A:= „Ich sehe ein rotes Auto“.
Diese klassische Aussage kann wahr oder falsch sein: W(A)=w oder W(A)=f.

In Stufenlogik kann diese Aussage je Stufe t einen Wahrheitswert annehmen:
W(A,t) = w oder f oder u.
In der Praxis wird man für konkrete Wahrnehmungen wohl keine Stufenunterschiede benötigen
(und auch nicht den dritten Wahrheitswert u).
Daher nur der Sonderfall für Stufe 0 wie immer: W(A,0)=u
und W(A,t)=w oder W(A,t)=f für alle t>0.

So wäre auch erklärt, warum wir uns bei konkreten Aussagen nicht erst über die Stufe einigen müsssen,
wenn wir den Wahrheitswert bestimmen.

2) Implizit undefinierte bzw. selbstreferentielle Aussage

B:= „Diese Aussage ist nicht wahr“
Für diese Aussage gilt klassisch weder der Wahrheitswert w noch der Wert f.

In Stufenlogik muss man für „wahr“ noch die Stufe ergänzen:

SB:= „Diese Aussage ist in Stufe t+1 wahr, wenn sie in Stufe t nicht wahr ist“

Hier gilt W(SB,0)=u. Damit W(SB,1) = W(W(SB,0) -= w,1) = w
Damit W(SB,2)= W(W(SB,1) -= w,1) = f , W(SB,3)= w, W(SB,4)= w usw.

Hier gibt es also eine echte Stufenabhängigkeit.

In der Praxis scheinen die Fälle der zweiten Art ehr selten zu sein,
daher kam man bisher auch ohne Stufen aus.

Ob sich der Aufwand mit Stufen lohnt (zumindest für Spezialisten)
ist wohl Geschmackssache…

Gruß
Trestone

 

Hallo,

Heute versuche ich einmal,
die aus der Stufenlogik abgeleitete Stufenmengenlehre (STM)
mit der methodisch ähnlichen Typentheorie von Russell (TT)
und der heute in der Mathematik gängigen ZFC-Mengenlehre (ZFC) zu vergleichen.

Links:

STM hier nach der Stufenlogik als abgeleitete Mengenlehre
oben in diesem thread (teilweise) definiert.

Typentheorie von Russell (TT): http://de.wikipedia.org/wiki/Typentheorie

ZFC-Mengenlehre (ZFC): http://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Gemeinsamkeiten:

Alle drei haben einen axiomatischen Ansatz und sind Fortsetzungen einer Logik.
Mit allen dreien lassen sich natürliche Zahlen mit Arithmetik darstellen.

Alle drei habe einige Axiome, die mir nicht ganz einleuchtend erscheinen
(das sind eigentlich schon Unterschiede):

Bei TT ist dies der Grundansatz:

Nach der Typentheorie gibt es einfache Mengen, welche lediglich Urelemente, aber keine Mengen als Elemente enthalten können; Mengen des zweiten Typs können nur einfache Mengen enthalten, Mengen des dritten Typs nur Mengen des zweiten Typs usw. Mengen haben also einen um eins höheren Typ als ihre Elemente.
In unserer „Praxis“ tauchen solche Typen und Hierarchien aber nicht auf.

Bei ZFC sehe ich u.a. folgende Axiome kritisch:
Fundierungsaxiom oder Regularitätsaxiom: Jede nichtleere Menge A enthält ein Element B, so dass A und B disjunkt sind.
Das erscheint mir etwas „technisch“ und nicht als „axiomswürdig“.
Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge A, die die leere Menge und mit jedem Element x auch die Nachfolgermenge enthält (vgl. Induktive Menge).
Schöner wäre es, wenn sich auch unendliche Mengen „natürlich“ ergäben.

Bei der von mir eingeführten STM sehe ich v.a. folgendes kritisch:

Schon das Kern-Axiom der Stufenlogik ist uns aus der „Praxis“ ähnlich wenig vertraut wie die Typenhierarchie:
Wahrheitswertstufen-Axiom: Aussagen A sind stufenlose Gebilde, deren Wahrheitswert wir nur bezogen auf eine Stufe t erkennen können (t = 0,1,2,…)
(Bei Aussagen über Wahrheitswerte ist also jeweils eine Bezugsstufe anzugeben, d.h. „W(A,t)=…“)

Unterschiede:
Im Gegensatz zu TT und ZFC, die auf klassischer Logik aufbauen,
setzt STM die davon abweichende Stufenlogik voraus.

In ZFC und TT ist die Russellmenge R (alle x, die x –e x erfüllen) keine zulässige Menge.
In STM ist R eine zulässige Menge,
die sich allerdings alternierend in Stufen selbst als Element enthält oder nicht.

In ZFC gibt es unendlich viele unterschiedliche Unendlichkeiten, bei TT weiß ich das nicht.
Bei STM gibt es nur eine Art von Unendlichkeit, da die Cantorschen Diagonalbeweise wegen der Stufen nicht mehr greifen.

In ZFC und TT ist die Allmenge All (Menge aller Mengen) keine zulässige Menge.
In STM ist All eine zulässige Menge,
die sogar mit ihrer Potenzmenge zusammenfällt.

Welche Mengenlehre (und Logik) man nun bevorzugt ist wohl Geschmackssache,
allerdings ist die Stufenmengenlehre wohl außerhalb von hier praktisch unbekannt.

Gruß
Trestone

 

Hallo Simon,

schön wieder von Dir zu hören!

Mit formalen Feinheiten habe ich mich bisher kaum befasst,
in den Augen der meisten Forenmitglieder bin ich dennoch noch viel zu formal unterwegs ...

Jedenfalls habe ich bisher zur Stufenlogik keine Gödelzahlen oder ähnliches betrachtet.

Die Wahrheitsfunktion W(A) habe ich einfach naiv als gegeben vorausgesetzt
und für dieStufenlogik dann zu W(A,t) modifiziert.

Inzwischen habe ich mir das Buch von Professor Ulrich Blau "Die Logik der Unbestimmtheiten und Paradoxien" besorgt.
Vgl. dazu
http://echnaton.pbworks.com/w/page/10185883/Ulrich Blau

Sehr interessant aber auch anstrengend formal!
Er hat tatsächlich vor mir mit der Reflexionslogik eine Logik entwickelt,
die in vielen Punkten der Stufenlogik ähnelt - und oft noch tiefer geht.

Offen bleibt für mich, weshalb Professor Blau diese Logik nicht auf die Mengenlehre anwendet,
und das "Cantorsche Paradies" der unendlich vielen Unendlichkeiten beibehält.
(Die Stufenmengenlehre kommt ja ohne Überabzählbarkeit aus).

Vielleicht habe ich da etwas zu einfach gesehen -
oder konnte mir als Außenstehender leichter einen neuen Blick erlauben?

Gruß
Trestone

 

Hallo Simon,

ich habe noch einmal herausgesucht,
was ich zum Lügner aufgeschrieben habe:

Anwendungsbeispiele zur Lügnerantnomie:

L:= „Diese Aussage L ist nicht wahr“

Ü1: Übersetzungmöglichkeit 1 in Stufenlogik:

Für alle t>=0 gilt:
Aussage L1 ist in Stufe t+1 als wahr definiert,
genau wenn sie in Stufe t nicht wahr ist -
und L1 ist sonst als –w definiert.

t=0: Nach A4 gilt: W(L1,0)=u
Daher W(L1,0+1) = w (denn W(L1,0)=u und damit „nicht wahr“)
Daher W(L1,1+1) = -w (denn W(L1,1)=w und damit nicht „nicht wahr“)
usw., also W(L1) = (u,w,-w,w,-w,w, …)
Die Antinomie wird also über alternierende Wahrheitswerte in den Stufen aufgelöst.

Ü2: Übersetzungmöglichkeit 2 in Stufenlogik:

Metalügner: ML:= Diese Aussage ist für alle Stufen nicht wahr“

Zur Analyse prüfen wir die Meta-Aussagen Eigenschaft (A9) von ML:
Annahme, W(ML,1)=w. Dann nach Inhalt von ML auch W(ML,1)=-w oder =u. Widerspruch!
Annahme W(ML,1)=-w. Dann existiert t0>0 mit W(ML,t0)=w,
und damit W(ML,t0) =-w oder =u. Widerspruch!
Also kann weder W(ML,1)= w noch W(ML,1)=-w gelten.
Also ist ML nach A9 keine zulässige Stufenaussage.
Die Antinomie wird also durch Einschränkung von Metaaussagen ausgeschlossen.

Ü3: Analog zu Ü1/Ü2 ggf. für weitere Lügner-Varianten.

Vielleicht hilft Dir das ein wenig.

Gruß
Trestone

 

Hallo,

ich habe mir den Beweis zu Gödels Unvollständigkeitssatz noch einmal angesehen,
zentral scheint mir ein Diagonalisierungselement zu sein.
Dieses ist in der Stufenlogik nicht mehr gültig,
was die hübsche Konsequenz hat,
dass die aus der Stufenlogik abgeleitete Mathematik wohl vollständig sein kann,
im Gegensatz zur klassischen (und auch konstruktivistischen) Mathematik.

Vielleicht ein Grund mehr, sich auf die
(zugegebenermaßen etwas koplizierte und ungewöhnliche)
Stufenlogik einzulassen ...

Gruß
Trestone

 

Hallo,

die „Stufenlogik“ hat in der „Typenhierarchie“ von Russell ja einen prominenten Vorgänger,
der sich letztlich nicht durchsetzen konnte.

Meines Wissens waren das v.a. zwei Gründe:
1. Die Typenhierarchie erschien als sehr willkürlich und „ad hoc“ und verkomplizierte die Logik – und schloß zudem viele Aussagen aus (Stichwort Selbstbezug).
2. Die Typenhierarchie konnte Gödels Unvollständigkeitssätze nicht vermeiden.
(Analoges gilt wohl für die konstruktivistische Logik.)

Ich will bei der Stufenlogik mit offenen Karten spielen, denn auch dort sind „ad hoc“ Annahmen eingeflossen,
da aber wohl die Gödelschen Unvollständigkeitssätze nicht mehr gelten,
lohnt wohl ein zweiter Blick auf diese Annahmen:

A) Stufen
A1: Es gibt eine induktive Menge T von Stufen: t= 0,1,2,3,…
(von T werden keine multiplikativen Eigenschaften benötigt, nur Nachfolgerordnung und Induktion, T und t wurden als Buchstaben gewählt, weil die Stufen in manchen Punkten der Zeit ähnlich sind)

A2: Aussagen A sind stufenlose Gebilde, deren Wahrheitswert wir nur bezogen auf eine Stufe t erkennen können.
(Bei Aussagen über Wahrheitswerte ist also jeweils eine Bezugsstufe anzugeben, d.h. „W(A,t)=…“)

A2b:
Der (logische) „Wahrheitswert“ einer Aussage ist der (unendliche) Vektor ( W(A,0), W(A,1), W(A,2), … ).

A3: Je Stufe t kann der Wahrheitswert einer Aussage A genau einen der Wahrheitswerte w, -w, u annehmen.
(Es liegt also eine dreiwertige Logik zu Grunde, das ist aber nicht entscheidend und mehr formal; die Negation von u ist u).

A8: Man kann eine Aussage A (stufenlogisch) definieren, indem man den Wert W(A,t) für jede Stufe t festlegt.
Dies ist auch rekursiv möglich, indem W(A,t+1) mittels W(A,t) festgelegt wird.
Dabei können auch beliebige schon definierte Werte W(B,d) und Metaaussagewerte benutzt werden.
z.B. W(L,t+1) := W( W(L,t)=-w v W(L,t)=u,1 )
In der Praxis beschränke ich mich auf endlich beschreibbare Definitionsschemata.

Die mit diesen Axiomen/Regeln definierte Stufenlogik lässt selbstbezügliche Aussagen zu, allerdings können diese (wie die Lügneraussage) unterschiedliche Wqahrheitswerte je Stufe t annehmen.

B) Startstufe 0
A4: In Stufe 0 sind alle Aussagen unbestimmt.
VA: W(A,0)=u
(Eine Art Verankerung, geistiger „Urknall“, u als Startpunkt aus Symmetriegründen)

Diese Festlegung ist zwar willkürlich, aber da sie „symmetrisch“ bzgl. wahr und falsch erfolgt,
ein plausibler Startpunkt.
Nicht über Stufe 0 zurückzugehen hat den Vorteil, dass alle Begründungsketten einen natürlichen Anfang haben und kein unendlicher Regress möglich ist.

C) Metaaussagen
A6: (Meta-)Aussagen über Stufen t sind ab Stufe 1 in allen Stufen stets w oder stets –w (also weitgehend wie klassische Aussagen).
Bei Metaaussagen M gilt W(M,1)=W(M,2)=W(M,3)=…

A7: (Meta-)Aussagen über Wahrheitswerte „W(A,t)=…“ sind ab Stufe 1 stets w oder stets –w
Also W( W(A,t)=w, 1 ) = W( W(A,t)=w, 2 ) = W( W(A,t)=w, t ) = W( W(A,t)=w, t+1 ) = …

Mit diesen Reglen für Metaaussagen wird erreicht, dass keine „Überstufe“ für Aussagen über Stufen benötigt wird,
sondern dass alles innerhalb der Stufenlogik bearbeitet werden kann.

D) Diagonalisierung
AD: Eine Eigenschaft aus Stufe t ( wie W(A,t) oder W(x e M, t) ) ist erst in Stufe t+1 bekannt bzw. für Definitionen verfügbar.

Damit treten bei den Cantorschen und Gödelschen Diagonalisierungen unterschiedliche Stufen auf und die zugehörigen Beweise sind in Stufenlogik nicht mehr gültig.

Insgesamt ist aber wohl die Bereitschaft für alternative Logiken dieser Art so gering,
dass sich selbst wenn damit die Gödelschen Unvollständigkeitssätze umgehbar wären,
sich wohl allenfalls nur Einzelne damit befassen würden (zumal bei dieser Hitze)…

Gruß
Trestone