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Selbstreferentialität in der Logik und dem Selbstbewußtsei

Dieses Thema im Forum "Philosophie und Grundsatzfragen" wurde erstellt von SimonSt, 5. Januar 2013.

  1. SimonSt

    SimonSt Lehrling

    Beiträge:
    27
    Registriert seit:
    17. Mai 2012
    Hallo an alle,
    nachdem ich mich an dem Thread von Trestone über Stufenlogik beteiligt habe, mache ich hier einen Thread zu meinem eigenen Vorhaben auf.

    Zu meiner Person: Ich habe ein naturwissenschaftliches Studium (Physik) absolviert und schreibe zurzeit an einer Doktorarbeit in Neurobiologie. Ich habe vor, nach meinem Doktor in die künstliche Intelligenz zu wechseln, da ich ein starkes Interesse an der Frage habe, in wie weit sich der menschliche Geist im Computer nachbilden lässt. Ich beschäftige mich seit ungefähr zehn Jahren mit logischen Paradoxien. Paradoxien beschäftigen mich, da ich der Ansicht bin, dass sie etwas über den menschlichen Geist aussagen, genauer sagen sie etwas über die eigene Logik aus, die wir benutzen.

    Ich überreiße erstmal mein Vorhaben, was noch lange nicht abgeschlossen ist. Wahrscheinlich wird es ein Buch werden, was einen Zusammenhang zwischen der mathematischen Logik und der Funktionsweise des Selbstbewußtseins herstellen soll. Beide sollen aus der Selbstbetrachtung des Geistes hervorgehen. Ich bin für jede Frage oder Anmerkung dankbar. Man muss sich nicht jahrelang mit Logik beschäftigt haben, um zu verstehen was ich vor habe.

    Bei meinem Studium der logischen Paradoxien habe ich viele Autoren gelesen, die sich philosophische Gedanken zur Mathematik gemacht haben. Einige Autoren äußern dabei am Rande ihr Gefühl, dass die mathematische Logik letztendlich die Logik des Bewußtseins sein muss. Indem sie z.B. sagen, dass alle logischen Paradoxien letztendlich Bewußtseinsparadoxien sind, oder dass die Logik letztendlich die Mechanik des Bewußtseins wiederspiegelt, sich selbst immer wieder zu verobjektivieren. Genau diesen Gedanken möchte ich explizit machen. Ich kenne bis jetzt keinen Autor, der versucht hat einen systematischen Zusammenhang zwischen der mathematischen Logik und dem Bewußtsein herzustellen. Falls jemand doch einen Autor kennt wäre ich natürlich dankbar dafür mir zu sagen wo ich die entsprechenden Texte finde.

    Wie will ich den besagten Zusammenhang herstellen?
    In zwei Schritten:

    (1) Als erstes will ich die gesamte Mathematik(!) in eine neue Darstellungsform bringen. Ich beschreibe die Mathematik als Selbstbetrachtung des Geistes, indem die Mathematik als Wissenschaft verstanden wird, die nichts anderes macht, als ihre eigenen Mittel der Beschreibung selbst wieder zu verobjektivieren.

    (2) Eine Analyse des "Ich"-Begriffs. Auch wenn die Mathematik Selbstreferenz kennt, kennt sie keinen Ich-Begriff im Unterschied zum Selbstbewußtsein. Liegt der mathematischen Logik und dem Selbstbewußtsein dieselbe Mechanik zugrunde, so versucht das Selbstbewußtsein ein Ich zu beschreiben. Hier stütze ich mich auf die spärliche Literatur zum Bewußtsein. Der Ich-Begriff ist logisch schwerer zu fassen als man denkt. Dies liegt hauptsächlich daran, dass das eigentliche erkennende Ich selbst nie in die Betrachtung rutscht. Ich werde das Ich stattdessen zum Ausgangspunkt der gesamten Weltvorstellung machen, indem jede Denkkategorie erst ihren Platz im Weltbild bekommt, indem sie zu dem erkennenden Ich in Beziehung gesetzt wird. Dieser Gedanke bedarf natürlich einiger Erläuterungen, die geliefert werden.

    Ich möchte zunächst Schritt (1) etwas näher beleuchten. Zwei Fragestellungen müssen berücksichtigt werden:
    (A) Wie bildet das Selbstbewußtsein Metabetrachtungen von der aktuellen Betrachtung?
    (B) Benutze ich nicht "stärkere" Mittel, wenn ich die Selbstbetrachtung des Geistes beschreibe, als die Mittel die ich beschreibe? Wenn ich stärkere Mittel benutzen würde, würde ich nicht die Mittel des Geistes in seiner Gänze beschreiben.

    Zu (B): Ich dachte früher, dass die Ergebnisse von Gödel besagen, dass man zur Beschreibung einer Logik stets stärkere Mittel braucht, als die Logik, die man beschreibt, selbst liefert. Der Gödelsche Satz beschreibt etwas ganz anderes. Wenn die Mittel, die ich benutze prinzipiell die gleichen sind wie die, die ich beschreibe, so wären diese Mittel in einem gewissen Sinne universell. Dies ist nicht so unmöglich, wie es klingt. In der Mathematik gibt es einige Universalitäten:
    - Jedes Objekt in der Mathematik lässt sich als Menge beschreiben.
    - Die Prädikatenlogik erster Stufe ist semantisch vollständig.
    - Es gibt eine Universelle Turingmaschine, die alle anderen Turingmaschinen simulieren kann.
    Alle diese Universalitäten sind wichtig und werden ausführlich behandelt. Als erstes soll der Gedanke reichen, dass die Beschreibung der Selbstbetrachtung des Geistes selbst eine Selbstbetrachtung des Geistes ist. Die Analyse der Subjekt-Objekt-Beziehung ist ein universelles Werkzeug. Konkret wähle ich eine Darstellungsform der Selbstbetrachtung des Geistes, welche ich im Zusammenhang mit Problem (A) erläutere.

    Zu (A): Gehört die Frage wie der Geist Metabetrachtungen bildet zur Logik des Geistes? Auch wenn die Frage für die KI von großem Interesse ist, umgehe ich diese Frage, indem ich feststelle, dass der Geist hierzu in der Lage ist. Ich untersuche lediglich die Frage in welchem Verhältnis eine Metabetrachtung zur Ausgangsbetrachtung stehen kann. Konkret betrachte ich zwei Systeme oder Strukturen gleichzeitig: Die beschreibende Struktur und die beschriebene Struktur. Auf diesen gemeinsamen Nenner will ich die mathematische Logik und die Logik des Selbstbewußtseins bringen.

    Zunächst soll die Feststellung reichen, dass eine Metabetrachtung stets in irgendeiner Form eine Zusammenfassung der aktuellen Betrachtung ist. Entweder fasst sie die aktuelle Betrachtung zusammen, oder das aktuell betrachtete wird verallgemeinert. Stets ist die Metatrachtung "kürzer" als die beschriebene Betrachtung.
    Dieses Verhältnis findet man auch in der Mathematik vor. Die Mathematik behandelt das unendlich Große oder das beliebig Große. Es ist unmittelbar einleuchtend, dass zur Beschreibung des unendlichen oder beliebig Großen nur endliche Mittel verwendet werden können, da nur diese hingeschrieben werden können. Hierbei sehe ich formale Sprachen, wie die mathematische Logik, nur als Speziallfall um Unendliches zu beschreiben. Das wichtigste Kriterium in der Mathematik ist, dass eine Beschreibung eindeutig ist. Die Frage ist also, wie allgemein mit endlichen Mitteln das Unendliche oder beliebig Große eindeutig beschrieben werden kann.

    Ich halte mich dabei an die Eckpfeiler der Mathematik um die Mathematik zu erfassen. Selbstreferenz kommt ins Spiel, wenn etwas aus der Metabetrachtung in die aktuelle Betrachtung "projeziert" wird. Die Eckpfeiler der Mathematik sind einerseits die selbstreferentiellen Beweise, die eine Unmöglichkeit ausdrücken und andererseits die Beweise oder die Feststellungen von den oben erwähnten Universalitäten.
    Die selbstreferentiellen Beweise, die eine Unmöglichkeit ausdrücken können nach meinem derzeitigen Stand auf vier Grundideen zurückgeführt werden:
    (1) Der Beweis von überabzählbaren Mengen.
    (2) Der Beweis der Existenz von berechenbaren aber nicht primitiv rekursiven Funktionen.
    (3) Das Halteproblem.
    (4) Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz.
    Jeder der Beweise stellt eine unabhängige Idee dar. Allen Beweisen gemeinsam ist, dass sie feststellen, dass bestimmte Strukturen mit gewissen Mitteln nicht erfasst werden können, oder das bestimmte Strukturen nicht durch bestimmte andere Strukturen beschrieben werden können. Jeder Beweis liefert ein interessantes Ergebnis, bezüglich der Fragestellung, in welchem Verhältnis die beschreibende Struktur zur beschriebenen Struktur steht, oder wie sie gerade nicht stehen können.
    Die oben erwähnten Universalitäten besagen hingegen, dass gewisse Strukturen auf eine bestimmte Art universell sind in ihrer Fähigkeit andere Strukturen zu beschreiben. Von grundsätzlichen Interesse sind obendrein gewisse "Merkwürdigkeiten", wie das Skolemparadoxon, welches in Frage stellt, ob man mit endlichen Mitteln überhaupt das Überabzählbare eindeutig beschreiben kann.

    Dies soll bis hierhin erstmal reichen, keiner liest sich am Stück ein riesigen Text durch.

    Viele Grüße
    Simon
     
  2. Mr. Anderson

    Mr. Anderson Ehrenmitglied

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    Re: Selbstreferentialität in der Logik und dem Selbstbewuß

    Mal eine kurze Verständnisfrage:
    Was genau meinst Du mit „die Mittel des Geistes“ in seiner Gänze?
     
  3. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Re: Selbstreferentialität in der Logik und dem Selbstbewuß

    Hallo Simon,

    Du hast Dir ja viel vorgenommen!
    Dazu die besten Wünsche!

    Inhaltlich kann ich an folgende Punkte anknüpfen:
    Beweise hängen auch von den Methoden ab, die man dabei zulässt
    (z.B. indirekte Beweise).
    Da in den letzten Jahrzehnten und Jahrhunderten wenig Fortschritt zu Deinen Themen erzielt wurde,
    vermute ich, dass man sich erst geeignete neue Methoden erarbeiten muss.
    Die klassische Logik habe ich im Verdacht, dass sie uns gerade bei selbstreferentiellen Fragen
    mehr behindert als erhellt,
    u.a. deswegen habe ich die Stufenlogik entwickelt,
    in der wohl alle vier obigen Beweise nicht mehr gelten.
    Aber auch andere Ansätze könnten zum Ziel führen.

    Gruß
    Trestone
     
  4. SimonSt

    SimonSt Lehrling

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    Hallo,
    ich möchte zuerst Mr. Anderson antworten.
    Mein Ziel ist eine im Prinzip vollständige Aufklärung der Logik des Geistes. Soll heißen, dass die Prinzipien klar sein sollen, wobei die Logik im Detail eventuell unendlich erweiterbar ist. Dabei läuft man in das Problem, dass man eine Logik erfassen will, die man zur Erfassung selbst benutzt. Anders formuliert: Kann der Geist sich selbst entschlüsseln? Ist die Logik des Geistes so universell, dass sie sich selbst darstellen kann?
    Damit dies möglich ist, muss die Logik tatsächlich auf eine bestimmte Art universell sein. Hierbei vertret ich den Gedanken, dass ein jeder Sachverhalt vollständig verstanden werden kann, wenn die Beziehung des Subjekts zu diesem Sachverhalt aufgeklärt wird. Was das heißen soll möchte an der chronologischen Geschichte verdeutlichen, die dieses Problem in meinen Diskussionen erfahren hat.

    Ich habe mir vor einigen Jahren mit einer Diskussionspartnerin aus dem Studium Gedanken darüber gemacht, wie das Subjekt eine Theorie über das Subjekt selbst aufstellen kann. Es tritt dabei als Theoriesteller auf und kann nie komplett von der eigenen Theorie erfasst werden. Die Theorie hätte sowas wie einen blinden Fleck an der Stelle wo das Subjekt selbst ins Spiel kommt. Dies ist der Selbstreferenz zu verdanken, die an einer Stelle nur über sich selbst definiert ist.
    Das Problem hatte allerdings einen Ausweg. Versucht man nicht eine Theorie des Subjekts aufzustellen, sondern versucht die dabei auftretende Selbstreferenz zu analysieren, so tritt das Problem nicht auf. Man kann die Selbstreferenz im geistigen Denken untersuchen ohne das Problem des blinden Flecks, denn eine Untersuchung der Selbstreferenz stellt selbst wieder einen selbstreferenziellen Vorgang da, der den gleichen Regeln unterliegen sollte. Man kann also allgemein das Phänomen der Selbstreferenz untersuchen ohne dass sich eine Unvollständigkeit ergibt.

    Die Selbstreferenz spielt bei mir heute immer noch eine zentrale Rolle. Ich möchte allerdings die Logik des Geistes nun mithilfe des Schemas der beschriebenen und der beschreibenden Struktur erklären. Auch hier darf ich bei der Beschreibung keine Mittel benutzen als die, die ich durch die Analyse beschreibe.

    Im Prinzip muss ich drei Dinge im Auge behalten. Inwieweit eine Struktur A durch eine Struktur B ausgedrückt werden kann (oder eben gerade nicht) und welche Ausdrucksstärke C benötige ich um dieses Verhältnis selbst auszudrücken?

    Hierbei erfinde ich die Mathematik nicht neu, sondern bring sie nur in eine andere Form.

    VG Simon
     
  5. SimonSt

    SimonSt Lehrling

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    Hallo Trestone,
    in der vorigen Antwort habe ich geschrieben:
    "Im Prinzip muss ich drei Dinge im Auge behalten. Inwieweit eine Struktur A durch eine Struktur B ausgedrückt werden kann (oder eben gerade nicht) und welche Ausdrucksstärke C benötige um dieses Verhältnis selbst auszudrücken?"

    Ich habe zu meinem Erstaunen festgestellt, dass jeder der vier genannten Beweise in der Prädikatenlogik erster Stufe (PL1) formuliert werden kann, wenn man eine Mengenlehre zugrunde legt, in der die Objekte beschrieben werden. Ich dachte früher, dass der selbstreferenzielle Akt in diesen Beweisen nicht in der PL1 darstellbar ist. Ich habe für diesen Gedanken viel Kritik in einem Logikforum geerntet. Mittlerweile weiß ich bei einigen dieser Beweisen wie sie in der PL1 dargestellt werden können.

    Dies betrifft genau das obige Zitat von mir selbst. Ich will nicht nur erklären, wie Strukturen andere Strukturen beschreiben, sondern auch wie dieses Verhältnis in einer dritten Struktur dargestellt werden kann. Die PL1 plus der Mengenlehre erfüllen die Eigenschaften dieser dritten Struktur. Die beiden Universalitäten, dass in der Mengenlehre jedes Objekt dargestellt werden kann plus die semantische Vollständigkeit der PL1 sorgen dafür, dass alle Beweise mit diesen beiden Mitteln nachvollzogen werden können. Dies gilt auch für Beweise, die die PL1 selbst zum Gegenstand haben, wie der Gödelsche (UN)vollständigkeitssatz.

    Du bist meines Wissens immer noch die Frage schuldig, warum die vier genannten Beweise nicht mehr führbar sind in Deiner Stufenlogik?

    VG Simon
     
  6. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo Simon,

    zu den geforderten Beweisen will ich hier aus Stufenlogiksicht zu (1) (Überabzählbare Mengen) Stellung nehmen,
    (2) – (4) sind dann analog.

    Klassisch gilt ja der Satz von Cantor, dass keine Menge die gleiche Mächtigkeit wie ihre Potenzmenge haben kann,
    und dies wird mit einem „Diagonalbeweis“ gezeigt:

    Man nimmt an, es gäbe eine Bijektion f von M auf P(M) und bildet dann die Menge Af,
    die genau aus allen M-Elementen x besteht, die nicht in ihrem Bild f(x) liegen:

    Af:= Menge aller x : x –e f(x) ( und x e M)

    Da Af selbst eine Menge aus M-Elementen ist,
    also ein Element der Potenzmenge P(M) muss es nach Annahme auch ein x0 geben mit f(x0) = Af.

    Dies führt aber auf einen Widerspruch:
    1. Fall: Es gilt x0 e f(x0) , dann liegt x0 nicht in Af, also x0 –e Af = f(x0), ein Widerspruch!
    2. Fall: Es gilt x0 -e f(x0) , dann liegt x0 in Af, also x0 e Af = f(x0), ein Widerspruch!
    Also ist die Existenz der Bijektion f nicht möglich.

    In der Stufenlogik und Stufenmengenlehre ist das anders:
    (Hinweis "-=" steht für "ungleich", "-w" steht für "f" (falsch) im Gegensatz zu "w" (wahr) und "u" (undefiniert/unbestimmt).)

    1. Beweis:
    Die All-Menge „All“ der Stufenmengenlehre hatte ich ja wie folgt definiert:
    W(x e All, t+1) := W (w,t) = w für t>0 und =u für t=0.
    Die ALL-Menge ist also eine zulässige Stufenmenge.

    Für die All-Menge ist die Potenzmenge gerade die All-Menge: P(all) = All.
    Daher kann man als Bijektiion f (in jeder Stufe t) die Identität wählen.
    Die All-Menge hat also die gleiche Mächtigkeit wie ihre Potenzmenge!

    2. Beweis:
    Wie ist das mit der Diagonalmenge Af in der Stufenmengenlehre?

    Sei eine Stufe t0 gegeben und f eine Bijektion von M auf P(M) in Stufe t0.
    Wir bilden nun analog:
    W( x e Af, t+1) := W ( W(x e f(x), t) -= w , t+1 ) & W( W( x e M, t0)=w , t+1)

    Wieder muss es ein x0 geben mit W( x0 e M, t0)=w und f(x0) = Af.

    1. Fall: W(x0 e f(x0), t)= w .
    Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , t+1 ) & W( W( x0 e M, t0)=w , t+1) = W ( -w, t+1) & w = -w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = -w.
    Dies ist kein Widerspruch, da es um verschiedene Stufen geht.
    (Mit der gleichen Stufe t+1 auf beiden Seiten wäre die Definition von x e Af nach Stufenregeln nicht zulässig)

    2. Fall: W(x0 e f(x0), t)= u .
    Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , t+1 ) & W( W( x0 e M, t0)=w , t+1) = W ( w, t+1) & w = w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = w.

    Dies ist kein Widerspruch, da es um verschiedene Stufen geht.

    3. Fall: W(x0 e f(x0), t)= -w .
    Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , t+1 ) & W( W( x0 e M, t0)=w , t+1) = W ( w, t+1) & w = w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = w.

    Dies ist kein Widerspruch, da es um verschiedene Stufen geht.

    Jetzt betrachten wir noch Af für den Fall, dass M die Allmenge ist und f die Identität (s.o. Beweis 1):

    W( x e Af, t+1) := W ( W(x e f(x), t) -= w , t+1 ) & W( W( x e All, t0)=w , t+1)
    W( x e Af, t+1) := W ( W(x e x, t) -= w , t+1 ) (für t0>0 ist der letzte Term immer w).

    Nun finden wir in Af die Russell-Menge R wieder, wir hatten definiert:
    W(x e R, t+1) := W ( W(x e x, t) = -w oder W(x e x, t) = u , t+1)

    Strenggenommen wäre der 2. Beweis allein noch nicht stichhaltig, da eine andere Definition von Af zum Ziel führen könnte,
    aber der direkte Beweis über die All-Menge liegt ja vor –
    und der Zusammenhang mit der Russellmenge veranschaulicht etwas die Zusammenhänge.

    Die Grundideen von Beweis 2 sind ja gerade zwei Grundideen der Stufenlogik:
    A) Bei jeder Wahrheitswertangebe W(A, …) zu einer Aussage A ist jeweils auch eine Stufe t mitanzugeben.
    B) Eine Aussage A kann in verschiedenen Stufen (hier t und t+1) verschiedene Wahrheitswerte besitzen, ohne widersprüchlich zu sein.

    Dadurch können in der Stufenlogik Selbstbezüglichkeiten zugelassen werden,
    denn die Stufen regeln die sonst problematischen Widersprüche (wie ich finde elegent) auf einer neuen Zusatzdimension aus.

    Gruß
    Trestone
     
  7. SimonSt

    SimonSt Lehrling

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    Hallo Trestone,
    wenn die Mengen bei Dir ebenso wie die Logik gestuft sind, hast Du vielleicht recht, dass die vier genannten Beweise, die Selbstreferenz benutzen nicht mehr führbar sind. Man müsste aber im Umkehrschluss zeigen was von der Mathematik übrig bleibt, wenn diese Beweise wegfallen. Diese vier Beweise gelten als Grundpfeiler der Mathematik.
    Ich habe vor einiger Zeit versucht diese Beweise anzugreifen ohne eine Stufenlogik zu benutzen. Ich dachte allein schon die Selbstreferenz in den Beweisen verbietet eine Darstellung in der Prädikatenlogik erster Stufe. Ich wurde eines besseren belehrt. Der Witz ist tatsächlich, dass alle Beweise in die Mengenlehre übersetzt werden, wo alle kategorialen Unterschiede verschwinden, da Mengen (normalerweise) keine Stufungen kennen.

    Bei meinem oben beschriebenen Vorhaben taucht ebenfalls so was ähnliches wie eine Stufung auf. Ich denke, dass das "natürliche" logische Denken gestuft ist, in die aktuelle Betrachtung und der Metabetrachtung davon. Selbstreferenz ist dann bei mir, ich denke so wie bei dir, die Verbindung zwischen der Metabetrachtung und der aktuellen Betrachtung. Man nimmt etwas aus der Metabetrachtung und tut es in die aktuelle Betrachtung.

    Die vier genannten Beweise haben für mich aber inzwischen eine weitergehende Bedeutung. Ich verteufel sie nicht mehr sondern versuche zu verstehen, warum mit Selbstreferenz nicht beliebiges bewiesen wird sondern genau die oben genannten Sachen. Ich denke mittlerweile, dass bei der Selbstreferenz nicht beliebiges verboten oder erlaubt wird. Die Unterteilung zwischen Klassen und Mengen find ich völlig blödsinnig, da beide von der Idee her eine Zusammenfassungen sind, hier umgeht man einfach verschiedene Paradoxien, wie das Russelparadoxon.
    Den vier genannten Beweisen möchte ich allerdings etwas bestimmtes abgewinnen. Ich bin noch nicht am Ende meiner Überlegungen aber zwei dieser Beweise kann man mit folgenden Konzept verstehen:

    (1) Der Beweis von überabzählbaren Mengen.
    (2) Der Beweis der Existenz von berechenbaren aber nicht primitiv rekursiven Funktionen.

    Bei allen meinen Überlegungungen möchte ich mit dem Begriff der Ausdrückstärke von Strukturen arbeiten, d.h. welche Strukturen können eindeutig durch andere beschrieben werden. Bei (1) und (2) definiert man jeweils eine neue Strukturmenge, wo ein Element so ausdrucksstark ist wie die Gesamtheit der zuvor betrachteten Strukturen.
    Ein Element der Potenzmenge der Natürlichen Zahlen ist so ausdrucksstark, wie die Natürlichen Zahlen insgesamt. Deshalb funktioniert hier die Diagonalisierung, wo jede Natürliche Zahl elementweise mit einem Element der Potenzmenge in Beziehung gesetzt wird. Dies klappt z.B. nicht mit den rationalen Zahlen.
    Bei (2) verhält es sich ähnlich. Mit primitiver Rekursion kann man die Addition, die Multiplikation, das Exponieren und beliebige weitere Operationen dieser Reihe definieren. Aber nur bis zu einem endlichen Grad. Man hat kein Ausdrucksmittel um über beliebige hohe Operationen zu sprechen. Die Ackermannfunktion ist nun eine Funktion, die berechenbar ist, aber nicht mehr primitiv rekursiv. In ihrer Definition steckt genau so ein Ausdrucksmittel um über beliebige Grade der beschriebenen Reihe von Operatoren zu sprechen. Eine Zahl, die als Argument der Funktion angegeben wird, bestimmt welche Operation dieser Reihe ausgeführt wird.
    Bei den beiden oben genannten Beweisen ging es stehts darum wie ausdrucksstark eine Struktur ist. Deshalb ist mein Vorhaben, die gesamte Mathematik über diesen Begriff aufzuziehen.
    Zu den vier Beweisen: Ich möchte ebenfalls ohne einen Kreisschluss in den Beweisen auskommen. Ich möchte, dass es unmittelbar einzusehen ist, dass eine Struktur nicht mit bestimmten Mitteln darstellbar ist. Möchte man allerdings den Widerspruch explizit, kommt man ohne den Kreisschluss nicht aus und man nimmt an, dass die betrachtete Struktur eben doch mit den Mitteln ausdrückbar ist und führt dies über einen Selbstbezug zum Widerspruch. Entsprechend Deiner Stufenlogik würde man verschiedene Stufen verbinden. Ich würde sagen, man "projeziert" etwas aus der Metabetrachtung in die aktuelle Betrachtung.

    Mein Vorhaben ist also die genannten Beweise nicht zu verteufeln, sondern ein mathematisches Verständnis aus ihnen herauszukitzeln.

    Grüße Simon
     
  8. SimonSt

    SimonSt Lehrling

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    Analyse des “Ich”-Begriffs

    Hallo an Alle.

    Die mathematische Logik und das Selbstbewusstsein möchte ich in zwei Schritten zusammenbringen. In einem ersten Schritt über den ich schon ein wenig geschrieben habe, bringe ich die beiden Bereiche zusammen indem ich sie als mögliche Formen der Selbstbetrachtung beschreibe. Anders gesagt analysiere ich auf welche Art eine Selbstbetrachtung logisch möglich ist und behaupte dann, dass diese sowohl der Logik des Selbstbewusstseins als auch der mathematischen Logik zugrunde liegt.

    In einem zweiten Schritt bringe ich den “Ich”-Begriff ins Spiel. Die Mathematik kennt zwar Selbstreferenz, die an ein involviertes Subjekt denken lässt, der Ich-Begriff kommt dennoch nicht in ihr vor. Hingegen ist der Ich-Begriff für das Selbstbewusstsein von zentraler Rolle. Beim Selbstbewusstsein geht es um die Beschreibung des eigenen Ichs.

    In der Literatur zum Bewusstsein habe ich zwei Ansätze ausgemacht:

    (1) Das Selbstbewusstsein wird durch höherstufige Betrachtungen beschrieben. Genauer wird dem Gehirn die Fähigkeit zugeschrieben zu der aktuellen Betrachtung eine höherstufige Betrachtung zu konstruieren. Hierbei “schwingt” die höherstufige Betrachtung bereits in der aktuellen Betrachtung mit, oder sie wird je nach Bedarf “on the fly” erzeugt. Gemeinsam ist, dass die höherstufige Betrachtung jederzeit in den Fokus der Aufmerksamkeit rutschen kann, wodurch sie selbst zur aktuellen Betrachtung wird.

    (2) Die Selbstmodelltheorie von Thomas Metzinger. Er nimmt an, dass das Gehirn zur Erzeugung von Selbstbewusstsein Modelle von sich selbst bildet. Hierbei unterscheidet er das Selbstmodell vom eigenen Körper und das Selbstmodell vom eigenen Geist.

    Beide Ansätze sind wichtig für mich, wobei ich noch keine fertig ausgearbeitete Theorie habe, aber einen Strang von Ideen. Ich finde meinen Ansatz sinnvoll die reine Logik in einer Theorie des Selbstbewusstseins vom Rest zu trennen. Es scheint unbestreitbar, dass das Gehirn höherstufige Betrachtungen von sich selbst anstellt, wobei die höherstufige Betrachtung dem eigenen “Ich” näher zu sein scheint. Dies kommt daher, dass bei einer höherstufigen Betrachtung stets etwas von den Mitteln, die das Subjekt benutzt in die Betrachtung rutscht. Mein Ansatz versucht in einem ersten Schritt genau das Verhältnis zwischen einer Betrachtung und einer möglichen Metabetrachtung von dieser zu analysieren. Hiernach soll klar sein auf welche Art das Gehirn zusammenfassen und generalisieren kann.

    Interessant dabei ist, dass das eigentliche Subjekt nie in die Betrachtung rutscht. Es werden stets nur dessen Beschreibungsmittel betrachtet. Philosophen wie Jasper haben früh erkannt, dass das Subjekt nie als Subjekt in Erscheinung tritt, sondern bei seiner eigenen Betrachtung zum Objekt wird. Dennoch soll versucht werden das “eigentliche” Subjekt hier zu definieren. Das eigentliche Subjekt, welches nie in die Betrachtung rutscht, soll der Fluchtpunkt sein, der entsteht, wenn auf eine höherstufige Betrachtung stets eine weitere höherstufige Betrachtung folgt. Das “Ich” kriegt den Platz des Betrachters, das alle Betrachtungen anstellt.

    Was soll dieser Subjekt oder Ich-Begriff leisten? Ich habe mir viele Gedanken dazu gemacht, dass die Mathematik im Prinzip nur Strukturen beschreibt, die beliebig auf die Welt angewand werden können. Nimmt man einen beiliebigen Bereich der Welt, so ist dessen Mathematisierung das Auffinden der reinen logischen Struktur die in diesem Bereich der Welt gelten. Als Physiker habe ich mich gefragt, dass zu den reinen Strukturen noch etwas hinzutreten muss um die Physik zu beschreiben. Es ist sowas wie eine Onthologie, eine Beschreibung was für eine Art von Objekt vor liegt. Andererseits wusste ich von dem Problem, dass man bei der Konstruktion eines Weltbildes sowas wie einen Ankerpunkt braucht, zu dem man alles in Beziehung setzt. Sucht man den Ankerpunkt in der Welt, so evolviert er mit der eigenen Weltvorstellung ebenfalls. Also lag es nahe, das “eigentliche” Subjekt, welches nie in die Betrachtung rutscht als Ankerpunkt zu verwenden. Dabei habe ich herausgefunden, dass wir jede Denkkategorie tatsächlich auf dem eigentlichen Subjekt abstützen. Genaugesagt erhält jede Denkkategorie ihre Stellung im Weltbild, indem sie zum Subjekt in Beziehung gesetzt wird. Eine Denkkategorie ist eine “feste” Denkkategorie, wenn sie einen festen Bezug zum Subjekt hat. Die Menge aller meiner Gedanken ist so eine feste Kategorie, da der Gedanke an mich selbst ebenfalls zu der Menge aller meiner Gedanken gehört. Jedes Objekt der Kategorie hat den gleichen Bezug zum Subjekt. Andersherum soll gerade definiert werden, was eine Kategorie ist, indem alle Elemente der Kategorie den gleichen Bezug zum Subjekt haben. Alles Physische ist ebenfalls eine feste Kategorie. Dass wir aufs Physische durch raumzeitliche Messungen zugreifen soll gerade dessen Bezug zum Subjekt beschreiben.

    Dieser Gedanke ist nicht weit von Metzingers Vorstellung entfernt, dass das Ich-Modell im Zentrum der Weltvorstellung liegt. Dies ist keine Neuauflage von dem Gedanken, dass die ganze Welt um mich kreist, sondern lediglich die Feststellung, dass wir in der Welt keinen anderen festen Bezugspunkt haben, als das eigene Ich um unsere Begriffe zu verankern.

    Die künstliche Intelligenz krankt daran, dass sie es bis dato nicht geschafft hat einen “allgemeinen” Problemlöser zu erschaffen. Ich behaupte, dass Bewusstsein und die Fähigkeit des allgemeinen Problemlösens ein und dasselbe ist. Nur mit einem Ich-Begriff ist das System in der Lage den Kontext eines Problems zu erfassen. Der Kontext des Problems ist die Beziehung seiner Einzelteile zum “Ich”-Konzept.

    Ich habe bis dato also eine Vorgehensweise, wie ich logische Strukturen erklären will, nämlich als Selbstbetrachtung des Geistes, und ein Konzept, wie Kategorien gebildet werden, indem sie zum “Ich”-Begriff in Beziehung gesetzt werden.

    Wie passt die Selbstmodelltheorie von Thomas Metzingers in das oben beschriebene Modell? Thomas Metzinger beschreibt leider nicht, wie der Aufbau eines Selbstmodells von der logischen Struktur her aussehen soll. Vorallem interessiert mich der Aufbau des Selbstmodells des Geistes. Ich glaube nicht, dass Metzinger das Problem gelöst hat, dass das Subjekt jetzt plötzlich doch ein vollständiges Modell seiner selbst besitzt. Vor allem beschreibt er nicht, dass sich das Subjekt getrennt von seinem Selbstmodell erlebt. Das Subjekt ARBEITET mit seinem Modell von sich selbst, es IST nicht das Modell selbst. Der Gedanke ist trotzdem gut. Das Subjekt könnte durch Modelle seiner selbst zu einem ständig evolvierenden “Ich”-Konzept gelangen.

    Hierzu ist es vorteilhaft sich zuerst das physische Selbstmodell des Organismus anzuschauen. Das Modell ist im grunde ein kognitives Abbild seiner eigenen Physis. Mithilfe des Modells kann der Organismus seine eigenen Handlungen vorrausplanen. Es existiert ein Modell von der eigenen Physis und ein Modell der physischen Welt, sodass die Interaktionen mit der physischen Welt, das eigene physische Selbstmodell verfeinern.

    Weniger konkret verhält es sich mit dem Selbstmodell der eigenen Kognition. Ein Modell, was einfach die eigene Kognition wieder abbildet, macht hier wie beim physischen Selbstmodell keinen Sinn. Interessant finde ich stattdessen den Gedanken, dass der Organismus ein kognitives Selbstmodell bildet, indem es Analogien aus seinem physischen Selbstmodell bildet. Wir sagen z.B., dass wir einen Gedanken aus einer anderen Perspektive betrachten, in Ermangelung einer besseren Beschreibung. Hierbei benutzen wir die Analogie, dass wir unsere Rezeptoren (Augen) aktiv in eine andere Position bringen können, um eine physische Konstellation aus einem anderem Blickwinkel zu betrachten. Alles Begriffe, die wir aus unserem physischen Selbstmodell und dessen Interaktion mit der physischen Welt entleihen.

    Der Gedanke ist also, dass der “Ich”-Begriff wegen seiner nicht Betrachtbarkeit einem ständigen Wandel unterläuft und ständig verfeinert wird. Umso besser unser eigenes Konzept vom “Ich” wird, umso besser können wir die Welt sortieren.

    Grüße Simon
     
  9. SimonSt

    SimonSt Lehrling

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    Frage an Trestone:
    Hab über Deine Stufenlogik/StufenMengenlehre nachgedacht. Ist es denn klar, dass alle Beweise, die keine Selbstreferenz benutzen noch führbar sind? Ergeben sich die gesuchten Widersprüche immer auf derselben Stufe? Wenn man z.B. so einen Standardbeweis nimmt, wie die Behauptung, dass es unendlich viele Primzahlen gibt?

    Grüße Simon
     
  10. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo Simon,

    die Stufenlogik hat ja nur eine zusätzliche Differenzierung in Stufen
    und sonst alle logischen Regeln und Schlussweisen beibehalten.

    Alle nicht indirekt geführten Beweise sind daher weiter möglich,
    nur bei den Widerspruchsbeweisen kommt es auf die Stufen an.

    Die Peano-Axiome lassen sich auch mit der Stufenlogik erfüllen
    und auch eine Arithmetik mit Multiplikation.
    Allerdings sind dies wohl etwas andere "natürliche" Zahlen:
    Denn beim Beweis der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung bleibt man an den unterschiedlichen Stufen hängen,
    d.h. dieser Beweis klappt nicht mehr.

    (Auch beim Primzahlsatz ist das wohl so, aber da er etwas konstruktivere Elemente enthält, müsste ich den noch genauer untersuchen.)

    In meiner aus der Stufenlogik abgeleiteten Mathematik und Mengenlehre gibt es übrigens keine Typen oder Stufen von Mengen.
    Es ist ja gerade das besondere, dass ich dort die Menge aller Mengen definieren kann,
    ohne auf "Klassen" oder ähnliches zurückgreifen zu müssen.

    Die Stufen stecken bei mir nicht in den "Dingen" wie Mengen oder Aussagen,
    sondern im "Betrachter", der in der Logik Wahrheitswerte aus unterschiedlichen Perspektiven (Stufen) wahrnimmt.

    Das könnte auch für Untersuchungen zur Selbstreferentialität ein fruchtbarer Ansatz sein,
    ich habe aber auch Verständniss wenn das noch zu neu und exotisch ist.

    Gruß
    Trestone
     
  11. SimonSt

    SimonSt Lehrling

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    Hallo Trestone,
    allgemein denke ich:
    Wenn bestimmte Widersprüche nicht zustande kommen, können einige Sachen nicht bewiesen werden, auf denen ein eigener Zweig der Mathematik gründet, wie der Zweig, der Ordinal und Kardinalzahlen, welche mit Überabzählbarkeit arbeitet. Meine derzeitige Meinung ist, dass man durch ein Verbot, dass etwas nicht zulässig ist, immer die Mathematik in ihren Möglichkeiten beschneidet. Das Problem des Widerspruchs kann man stets so lösen, dass nur ein bestimmter Aspekt zurückgewiesen werden muss, auf dem dann ein ganzer Zweig aufbauen kann. Ich Frage mich tatsächlich was von der Mathematik übrig bleibt, wenn die besagten Widerspruchsbeweise nicht mehr gelten. Man bietet ja auch keinen Ersatz, was an die Stelle tritt. Dennoch ist es interesannt zu sehen, was dieser Schnitt (die Stufenlogik) genau herrausschneidet. Bleibt am Ende ein Teil der Mathematik übrig, der unser intuitives Denken besser widerspiegelt? Ich denke genau hierin liegt die mathematische Leistung, dass man zeigt, was genau übrig bleiben würde.
    Kein unmathematisches Vorgehen, schließlich beschneiden die Intuitionisten auch die Mathematik, indem sie einiges nicht mehr zulassen. Wertvoll wird der Gedanke, wenn der übrig bleibende Teil insich Sinn ergibt, dass der Schnitt also nicht beliebig ist, sondern etwas grundsätzliches offenbart.

    Daher interessiert es mich, was die Primfaktorenzerlegung und der Primzahlsatz da genau ergeben haben..

    Grüße Simon
     
  12. Trestone

    Trestone Großmeister

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    Hallo Simon,

    mathematisches Beweisen war nie meine große Liebe
    und ich vervollständige meine Theorie daher nur ungern durch systematische Beweise
    (wäre schön, wenn dass jemand Geeigneteres übernimmt).

    Da der Primzahlsatz so elementar ist, wenigstens zu ihm ein Versuch:

    Hier ist der Schlüssel, dass das Produkt von Zahlen mit Eigenschaften in Stufe t
    selbst erst in Stufe t+1 zugänglich ist, also einen „Stufenwechsel“ erzwingt.

    1 Fall: Wir nehmen an, dass es in Stufe t nur die endlich vielen Primzahlen p1,p2,..,pn gibt.
    Sei m das Produkt aller dieser Primzahlen (in Stufe t+1, s.o.).
    m hat dann in t+1 mindestens die Teiler p1,p2,…,pn.
    m+1 hat daher keinen der Teiler p1,p2,…,pn in t+1. Also hat m+1 einen neuen Teiler qn+1
    und qn+1 ist entweder selbst in t+1 prim oder hat einen neuen Primteiler.
    D.h. wir haben gezeigt, dass es zu n Primzahlen in Stufe t mindestens eine neue Primzahl in Stufe t+1 gibt,
    (Da die p1,p2,..pn in t+1 nicht unbedingt alle prim sein müssen, ist noch nicht gezeigt, dass es in t+1 mehr als n Primzahlen gibt.)

    2. Fall: Wir nehmen an, dass es über alle Stufen nur die endlich vielen Primzahlen p1,p2,..,pn gibt.
    Dann gibt es ein t0, so dass es bis Stufe t0 schon die endlich vielen Primzahlen p1,p2,..,pn gibt.
    Jetzt können wir analog zu Fall1 (mit t=t0) argumentieren, dass es zu den n Primzahlen in Stufe t0 in Stufe t0+1 noch mindestens eine neue gibt.
    Das ist ein Widerspruch (auch in Stufenlogik), d.h. es muss über alle Stufen unendlich viele Primzahlen geben.
    D.h. Euklids Beweis gilt „fast“, aber ob es eine Stufe mit unendlich vielen Primzahlen gibt bleibt hier noch offen.

    Insgesamt sehe ich die Stufenlogik gar nicht als Einschränkung der klassischen Logik,
    sondern mehr als Alternative:
    Die indirekten Beweise sind ja nicht verboten, sondern durch implizite Stufenveränderungen meist nicht mehr gültig.
    In der Mengenlehre gibt es zwar die überabzählbaren Ordinalzahlen nicht mehr,
    dafür aber die Menege aller Mengen und die Russellmenge.
    Insdgesamt ist die Theorie also anders, aber nicht unbedingt weniger,
    zugegebenermaßen aber meist etwas komplizierter.
    Und selbstbezügliche Aussagen sind in der Stufenlehre erlaubt.

    Gruß
    Trestone
     
  13. SimonSt

    SimonSt Lehrling

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    Hallo Trestone,
    bin noch nicht dazu gekommen mir das anzuschauen.

    Ich schau's mir die Tage genau an und antworte dann darauf.

    Grüße Simon
     
  14. SimonSt

    SimonSt Lehrling

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    Hallo Trestone,
    hab Dich nicht vergessen. Momentan arbeite ich nicht an der Logik. Ich habe Diskussionspartner mit denen ich Metzingers Selbstmodelltheorie diskutiere. Vielleicht mach ich hierzu mal einen Thread auf.

    Viele Grüße Simon
     
  15. Telepathetic

    Telepathetic Großmeister

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    Re: Analyse des “Ich”-Begriffs

    Hallo Simon,

    Analogien aus dem physischen Selbstbild zu bilden macht in meinen Augen Sinn, da sich die Kognition zuerst auf die sinnliche Wahrnehmung des Körpers und der umgebenden Welt und dann auf sich selbst bezieht.

    Johann Georg Hamann hielt die Poesie für die Muttersprache des menschlichen Geschlechts. Poesie drückt sich nicht in Zahlen und Formeln aus, sondern in Farben und Formen. Von daher macht es auch Sinn, Analogien aus dem physischen Selbstmodell und aus Vorgängen in der umgebenden Welt zu entlehnen.

    Ein Selbstmodell der eigenen Kognition könnte aber auch in der Darstellung des eigenen Weltbildes gründen. Ein Weltbild ist eine Anzahl an Eindrücken von der Welt, die in einem geordneten Bezug zueinander stehen. Stichwort Denkmuster. Wer es schafft, seine Eindrücke und deren Bezüge untereinander zu vergegenwärtigen, der kann es auch schaffen, die Bezüge zu verändern. Damit ändert sich das eigene Konzept des Ichs, bzw. verfeinert sich der Ich-Begriff. Daraus ergibt sich, dass das Ich betrachtbar ist und sei es über den Umweg der Fremdbetrachtung.

    Der Betrachtung der Welt folgt die Betrachtung der Betrachtung der Welt und wenigstens theoretisch geht die Betrachtung der Betrachtung unendlich weiter. Mir ist nicht geläufig, inwieweit das Denken automatisiert im Unbewußten abläuft, um zu seiner Zeit (bzw. Unzeit) Ergebnisse vor dem geisigen Auge erscheinen zu lassen, aber hier könnte ein Grund liegen, warum manche Träume und ebenso die geistige Komponente von Psychosen aus der Realität herausgerissen erscheinen können. Sie basieren womöglich auf einer Betrachtung der Betrachtung der Betrachtung usw. deren Zwischenschritte vom Bewußtsein übergangen oder herausgefiltert worden sind. Es fehlen die Informationen (oder sie sind irgendwo im Inhalt versteckt), um ein klares, leicht verständliches Bild zu zeichnen.