Paradoxien-Sammlung

holgercp

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Ein thread über das Lügner-Paradoxon brachte mich auf die Idee, einen thread zur Sammlung von Paradoxien aufzumachen.
Ich hab die Suchfunktion benutzt und nichts dergleichen gefunden, also denke ich mal, dass dieser thread sinnvoll ist.

Ich möchte euch bitten, da es ja um verschiedene Paradoxien gehen kann, in den jeweiligen Beiträgen, das Thema als Betreff anzugeben, das erleichtert den Überblick.

Grüße

Holger
 

holgercp

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Lügner-Paradoxon = Barbier-Paradoxon?

Da das Lügner-Paradoxon andererorts schon angesprochen wurde möchte ich hier mal meine Gedanken zum allseits bekannten Barbier-Paradoxon erläutern; es lautet in etwa wie folgt:

Ein Barbier frisiert / rasiert alle Menschen, die sich nicht selbst frisieren / rasieren.
Frisiert / rasiert der Barbier sich selbst?


Ich mutmaße hier das gleiche Problem wie beim Lügner-Paradoxon.
Ich versuche es mit Mengen zu erklären:

Eine Aussage darf sich nur auf eine Menge beziehen, die unabhängig von der Aussage besteht.
In diesem Fall ist das die Menge all derjeniger, die sich nicht selbst frisieren.

Die Menge ist infolge der Aussage "frisiert alle die sich nicht selbst frisieren" nicht mehr eindeutig, eigentlich wäre die einzig gültige Aussage:

Ein Barbier frisiert alle diejenigen Menschen, die sich bis zu diesem Zeitpunkt nicht selbst frisiert haben. In dem Moment, wo der Barbier sich selbst frisiert, verändert er die Menge derart, das er sich selbst aus der Menge eleminiert. Eine Aussage kann sich aber nicht auf etwas beziehen, was durch die Aussage selbst derart verändert wird, dass die Bezugnahme unmöglich wird. Betrachten wir den Barbier als Element fällt er gerade in dem Moment, indem er sich frisiert aus der Menge heraus.

Ich glaube ähnliche Überlegung lässt sich auf das Lügnerparadoxon anwenden, auch wenn es dort vielleicht nicht so offensichtlich ist.

Grüße

Holger
 

Marc

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Paradox im Unendlichen(von John Littlewood).

Man legt durchnummerierte Kugeln in eine Urne.
Eine Minute vor Mitternacht legt man die Kugeln mit den Nummern 1 bis 10 in die Urne, und entnimmt die Kugel 1.
Eine halbe Minute vor Mitternacht werden die Kugeln 11 bis 20 in die Urne gelegt, und es wird die Kugel 2 entnommen.
Eine drittel Minute vor Mitternacht, legt man die Kugeln 21 bis 30 dazu und nimmt Kugel 3 raus usw. usw. ........
Um Mitternacht befindet sich keine Kugel mehr in der Urne.

Man kann genau sagen wann welche Kugel rausgenommen wird.
Die Kugel 2 wird eine halbe Minute vor Mitternacht rausgenommen, die Kugel 5000 wird eine Fünftausenstel Minute vor Mitternacht rausgenommen.
So gibt es keine Kugel die um Mitternacht noch in der Urne liegen kann,
auch wenn man im unendlichen natürlich wesentlich mehr Kugeln reinlegt als man rausnimmt.
 

Trestone

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Paradoxie: Lügner ohne Selbstbezug (unendliche Folge)

Hallo,

hier noch eine Paradoxie mit dem Unendlichen:

Eine unendlich lange Reihe von Menschen steht hintereinander.
Jeder sagt: "Mindestens einer hinter mir lügt".


Sei A(n) die Aussage des n-ten in der Reihe.
Wenn A(1) wahr ist, gibt es ein m mit A(m) ist nicht wahr, d.h. alle hinter m sagen die Wahrheit, dazu müsste aber noch einer davon lügen.
Also kann A(1) nicht wahr sein.

Wenn A(1) nicht wahr ist, müssen alle hinter 1 die Wahrheit sagen, dazu müsste aber noch einer davon lügen. Also kann A(1) auch nicht nicht wahr sein.

Diese Paradoxie habe ich glaube ich einmal im Spektrum der Wissenschaft gelesen, das Schöne ist, dass sie ohne Selbstbezug funktioniert.

Gruß
Trestone
 

Trestone

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Paradoxie:Gödels Unvollständigkeitssatz und die Mathematik

Hallo,

Kurt Gödel hat den folgenden Unvollständigkeitssatz 1931 bewiesen:

"Jedes axiomatische System, das die Arithmetik enthält, ist entweder widersprüchlich, oder es enthält nach den Axiomen wahre Sätze, die nicht innerhalb des Systems beweisbar sind."

Das Paradoxe ist nun die Reaktion der Mathematiker auf dieses Ergebnis:

Statt nun ihre axiomatische Methode oder die Logik zu ändern (d.h. die Methoden mathematischen Forschens, wie z.B. vom Konstruktivismus vorgeschlagen) beharrt diese in der Öffentlichkeit als Wahrheitssucher angesehene Gruppe auf ihrem angestammten Spielzeug und nimmt lieber Widersprüchlichkeit oder Unbeweisbarkeit in Kauf.

Das ist ungefähr so, wie wenn Bauern ein Feld nach Methoden und mit Früchten bestellen würden, die nachweisbar häufig keine Ernte zulassen - und sich weigern, nach neuen Methoden zu suchen, weil die alten schön sind und sie sich daran gewöhnt haben - (was er nicht kennt, ...)

Wer hätte dieses Motto gerade in der Mathematik vermutet?

Gruß
Trestone
 

Trestone

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Paradoxie: Der Mensch

Hallo,

eine der größten Paradoxien überhaupt ist der Mensch.

Schön von Kleist in der Herrmannsschlacht beschrieben:

Varus: "Wo komm ich her? Wo bin ich? Wohin wandr' ich?

Alraune: "Aus Nichts, Quintilius Varus! Ins Nichts, Quintilius Varus!
Zwei Schritt vom Grab, Quintilius Varus,
Hart zwischen Nichts und Nichts! Gehab dich wohl!"

aus:
http://gutenberg.spiegel.de/kleist/hermschl/herm51.htm

Gruß
Trestone
 

Shishachilla

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Re: Paradox im Unendlichen(von John Littlewood).

Marc schrieb:
Man legt durchnummerierte Kugeln in eine Urne.
Eine Minute vor Mitternacht legt man die Kugeln mit den Nummern 1 bis 10 in die Urne, und entnimmt die Kugel 1.
Eine halbe Minute vor Mitternacht werden die Kugeln 11 bis 20 in die Urne gelegt, und es wird die Kugel 2 entnommen.
Eine drittel Minute vor Mitternacht, legt man die Kugeln 21 bis 30 dazu und nimmt Kugel 3 raus usw. usw. ........
Um Mitternacht befindet sich keine Kugel mehr in der Urne.

Man kann genau sagen wann welche Kugel rausgenommen wird.
Die Kugel 2 wird eine halbe Minute vor Mitternacht rausgenommen, die Kugel 5000 wird eine Fünftausenstel Minute vor Mitternacht rausgenommen.
So gibt es keine Kugel die um Mitternacht noch in der Urne liegen kann,
auch wenn man im unendlichen natürlich wesentlich mehr Kugeln reinlegt als man rausnimmt.
:?: :?: :?:
Versteh ich nich, wenn ich immer zur hälfte der verbleibenden zeit 9 kugeln dazulegt (10 rein, eine raus) wie soll die urne dann jemals leer werden, abgesehen davon dass diese aufgabe in der realität natürlich sowieso schlecht nachzuvollziehen ist, genau wie: Ein Schnecke sitzt einen Meter vor einem Salatblatt, nach zehn min hat sie die Hälfte der Strecke zurückgelegt, nach weiteren zehn min die Hälfte der verbliebenen Strecke nach weiteren zehn min die Hälfte der wiederum verbliebenen Strecke usw. sie kommt also niemals an???
 

antimagnet

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Re: Paradoxie:Gödels Unvollständigkeitssatz und die Mathem

Trestone schrieb:
Das Paradoxe ist nun die Reaktion der Mathematiker auf dieses Ergebnis:

Statt nun ihre axiomatische Methode oder die Logik zu ändern (d.h. die Methoden mathematischen Forschens, wie z.B. vom Konstruktivismus vorgeschlagen) beharrt diese in der Öffentlichkeit als Wahrheitssucher angesehene Gruppe auf ihrem angestammten Spielzeug und nimmt lieber Widersprüchlichkeit oder Unbeweisbarkeit in Kauf.
ich glaube nicht, dass mathematiker nach der wahrheit suchen - zumindest nicht, wenn sich wahrheit auf die wirklichkeit bezieht. mathematiker haben doch mit der wirklichkeit nichts am hut...

nachtrag:
natürlich kommt die schnecke an... mathematisch gesagt: 1,periode1 ist zwar eine unendlich lange zahl, aber keine unendlich große...
 

Shishachilla

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Jap, is mir klar, wollte nur verdeutlichen, warum ich ein Prob mit den Kugeln und der Urne hab.
 

Trestone

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Re: Paradox im Unendlichen(von John Littlewood).

Shishachilla schrieb:
Ein Schnecke sitzt einen Meter vor einem Salatblatt, nach zehn min hat sie die Hälfte der Strecke zurückgelegt, nach weiteren zehn min die Hälfte der verbliebenen Strecke nach weiteren zehn min die Hälfte der wiederum verbliebenen Strecke usw. sie kommt also niemals an???
Nur um meine (nichtwahrheitsliebende?) Mathematikerseele ruhig zu stellen: Diese Schnecke kommt niemals an, denn es gibt unendlich viele Resthälften und für jede werden ja 10 min gebraucht - diese Schnecke wird immer langsamer und schafft den ganzen Meter nie.
Bei konstanter Geschwindigkeit hätte sie nach herkömlicher Meinung aber eine Chance anzukommen.

Gruß
Trestone
 

Trestone

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Re: Paradox im Unendlichen(von John Littlewood).

Marc schrieb:
Man legt durchnummerierte Kugeln in eine Urne.
Eine Minute vor Mitternacht legt man die Kugeln mit den Nummern 1 bis 10 in die Urne, und entnimmt die Kugel 1.
Eine halbe Minute vor Mitternacht werden die Kugeln 11 bis 20 in die Urne gelegt, und es wird die Kugel 2 entnommen.
Eine drittel Minute vor Mitternacht, legt man die Kugeln 21 bis 30 dazu und nimmt Kugel 3 raus usw. usw. ........
Um Mitternacht befindet sich keine Kugel mehr in der Urne.

Man kann genau sagen wann welche Kugel rausgenommen wird.
Die Kugel 2 wird eine halbe Minute vor Mitternacht rausgenommen, die Kugel 5000 wird eine Fünftausenstel Minute vor Mitternacht rausgenommen.
So gibt es keine Kugel die um Mitternacht noch in der Urne liegen kann,
auch wenn man im unendlichen natürlich wesentlich mehr Kugeln reinlegt als man rausnimmt.
Es gibt hier zwei Sichtweisen:

1. Aus Sicht der Zeitpunkte 1, 1/2, 1/3, 1/4 usw. lege ich immer 10 Kugeln rein und nehme nur eine heraus, habe also zum Zeitpunkt 1/n jeweils 9n Kugeln in der Urne, es werden also immer mehr.
(Gedanke: Der Zielpunkt Mitternacht ist ja keiner dieser Zeitpunkte. Andererseits aber der Grenzwert bei 1/n?)

2. Die Sicht der Kugeln lässt sich auch bestimmen: Die Kugel n kommt zu folgendem Zeitpunkt hinein: 1/m Min vor Mitternacht , wobei m der ganzzahlige Anteil von (n+9)/10 ist. Und zu 1/n kommt sie wieder heraus.
Beispiel: n=43. (43+9)/10 =5,2 also m=5. 43 kommt also zu 1/5 hinein und bei 1/43 wieder heraus. (Danach kommt 43 nie wieder hinein).
Daher muss die Urne um Mitternacht leer sein.

Mathematisch scheint das Argument von 2. das von 1. zu schlagen, aber ganz habe ich dies schöne Paradox noch nicht verstanden...

Gruß
Trestone
 

Shishachilla

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@ Trestone, ja, ich weiß, dass bei der Schnecke der Fehler mit der Zeit ist, aber ich wußte nicht, wie ich es anders stellen sollte, am besten ganz ohne Zeit: Sie läuft zuerst die Hälfte des Meters, dann die Hälfte der Reststrecke, dann wieder die Hälfte der Reststrecke und so weiter, dann käme sie an. Auch wenn es wie gesagt ein Paradoxon ist, in gewissem Sinne.
 

holgercp

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Auredin

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Das bekannte "Zeitreiseparadoxon" fehlt noch.
(Ihr wisst schon ... die Geschichte wo jemand in die Vergangenheit reist und seinen Großvater umbringt ...)

Ich wohne bei meinem Nachbarn.
Witzig. :D
Aber gilt das überhaupt?
Jetzt mal ganz strenggenommen, mein ich.
Klingt für mich eher nach schlecht gelogen als nach Paradoxon.
Da könnt ich ja auch sagen:
Mein Bruder ist ein Einzelkind.
 

Benkei

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Geldvernichtung?

Drei Freunde gehen in ein Sportgeschäft um einen Ball zu kaufen. Der Verkäufer verlangt für den Ball 15 €. Jeder der drei Freunde gibt ihm 5 € und sie ziehen mit dem Ball ab.
Als sie gerade draußen sind kommt der Geschäftsführer und fragt den Verkäufer wieviel er den Dreien für den Ball abgenommen hat. Der Verkäufer antwortet, dass er 15 € eingenommen hat. Der Geschäftsführer entgegnet, dass Bälle derzeit im Angebot sind und trägt dem Verkäufer auf, den Dreien 5 € zurückzugeben.
Der Verkäufer geht nach draußen und trifft die Drei dort an. Er denkt sich, dass man 5 € nicht durch drei teilen kann und gibt jeden 1 € zurück. Die übrigen 2 € behält er.
Von den 15 € hat jetzt jeder der drei Freunde 4 € gezahlt (5 € - 1 €), also insgesamt 12 €.
Der Verkäufer hat 2 € behalten.

Wo ist der letzte 1 € geblieben :?:


Das nenne ich mal spontane Geldvernichtung :wink:
 

Mr. Anderson

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Hatten wir das nicht schonmal? :gruebel:
Der Verkäufer behält ja nichts von irgendwelchen "15 Euro", sondern nur von den 12 Euro, die die Jungs bezahlt haben.
 

streicher

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Das Paradox der Hässlichkeit: Gegenstände und Kunstwerke, die man üblicherweise als "hässlich" oder "unschön" einordnet, üben doch einen ästhetischen Reiz aus.
 
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