Die Quantentheorie und die irrationalen Zahlen

Neulich bin ich auf eine Art "Unstimmigkeit" gestossen, für die ich eine Erklärung suche.

Es geht um Folgendes:
Das Plancksche Strahlungsgesetz gilt als Geburtsstunde der Quantenphysik. Es sagt im Wesentlichen aus, dass "der Energieaustausch zwischen Oszillatoren und dem elektromagnetischen Strahlungsfeld nicht kontinuierlich, sondern in Form kleinster Energiepakete (später als Quanten bezeichnet) stattfindet" (Wikipedia).
Oder anders gesagt: Die Energiepakete sind die kleinstmöglichen und besitzen somit einen endlichen Wert (letzteres meine Annahme aus dem Verständnis des obigen).

Das Plancksche Strahlungsgesetz lautet wie folgt:

U(v/t) = 8 PI h v^3 / e^(hv/kT) - 1

(eine bessere Formeldarstellung im o.g. Wikipedia-Artikel)

Die einzelnen Werte der Konstanten (Boltzmann-Konstante, Plancksches Wirkungsquantum usw.) oder die konkreten Ergebnisse aus dieser Gleichung sind für meine Fragestellung hier nicht von Belang.

1. Es geht mir um die Zahl PI und die Eulersche Zahl e. Denn diese Zahlen sind Irrationale Zahlen. Bekanntlich sind die Irrationale Zahlen Zahlen, die nicht durch Brüche Ganzer Zahlen dargestellt werden können; somit besitzen sie eine nicht endende Zahl von Stellen, die sich nicht wiederholen.

2. Alle anderen Werte der Gleichung sind entweder endliche Werte rationaler Zahlen (z.B. die Frequenz v) oder Naturkonstanten (h, k, T) und somit auch rational (oder liege ich da falsch ? Kann eine Naturkonstante auch irrational sein ?).

3. Mathematisch ist das Produkt aus einer Irrationalen Zahl und einer Rationalen Zahl immer auch irrational.

4. Für die Zahl PI/e ist es zwar nicht bewiesen, dass es sich um eine Irrationale Zahl handelt; es wird aber vermutet.

5. Die o.g. Gleichung ist also vom Wesen her: (PI/e) * Rationaler Zahl, sprich: Irrationale Zahl * Rationaler Zahl.

6. Somit sind alle Ergebnisse aus dieser Gleichung irrational. Sie besitzen endlose Stellen, die sich auch nicht wiederholen.

FRAGE: Widersprechen nicht die irrationalen Ergebnisse aus dieser Gleichung, der Aussage der "kleinstmöglichen Pakete", der Quantelung ? Müssten nicht, um der Aussage einer Quantelung zu genügen, alle Ergebnisse rational sein, sprich: endlich ?

 

Der Einwand ist sicherlich nicht unberechtigt. Und selbst Wurzel 2 ist irrational - wie die Diagonale eines Quadrats, was ja dann auch die historisch erste irrationale Zahl war, die entdeckt wurde.

Nur kann man einwenden, dass z.B. der mathematische Kreis ein rein theoretisches Konstrukt sei. Denn schaut man sich einen realen Kreis einmal genauer an, "unter dem Mikroskop" sozusagen - dann ist es keiner. und seine mathematische Berechnung nur eine Näherung des realen, ein "idealer" Kreis.

Was mir an meinem Beispiel missfällt, ist die zugrundeliegende Aussage der Quantelung, "kleinster Pakete" eben. Wie kann das zusammengehen mit Werten endloser Genauigkeit ?

 

Habe nur die ersten paar Zeilen gelesen - aber ist das nicht an den Haaren herbeigezogen? Die Quantentheorie ist eine Theorie, die auf einer höheren Mathematik aufbaut und diese wiederum auf Pi.
Wie kann man dann die Quantentheorie dazu verwenden, eine Formel zur Berechnung von Pi zu beweisen?

Das ist so, als wolle man mit einem Uhrwerk die Kreisgeometrie beweisen.