Chrono-Logik: ein Versuch

[Trestone]

Hallo,

wieder einmal renne ich mit und gegen die Windmühlenflügel der Logik an,
um einen (mir) neuen Ansatz zu testen: Chrono-Logik.

Die Idee dazu stammt u.a. aus der (Quanten-)Physik:
Wie Eigenschaften von Teilchen unbestimmt bleiben,
bis sie in einer (irreversiblen) Messung bestimmt werden,
will ich von unbestimmten Wahrheitswerten ausgehen,
bis sie durch einen "Denkakt" (irreversibel) festgelegt werden.

Dabei spielt nun zu jeder Aussage der Zeitpunkt eine Rolle,
auf den wir uns bei der Wahrheitswertfindung der Aussage beziehen.

Statt Zeitpunkten können wir uns auch Gedankenreihenfolgen vorstellen:
Beim ersten Nachdenken war eine Aussage vielleicht noch unbestimmt,
nach drei weiteren Gedanken erkennen wir sie dann als wahr.
Ab dann werden wir sie immer für wahr ansehen
(als perfekte Logiker, die wir sind …).

Nun die Grundprinzipien der Chrono-Logik:

W1: Aussagen A haben zu jedem Zeitpunkt t Wahrheitswerte W(A,t).
W(A,t) kann jeweils einen der Werte w, -w, (w,-w) annehmen,
dabei steht der letzte für "unbestimmt".

(Das Prinzip W1 ist selbst eine (Meta-)Aussage, es ist ab t+1 w, für t=0 also ab t=1)


A0: Zum Zeitpunkt 0 sind alle Aussagen (w,-w) (d.h. unbestimmt).

(A0 ist ab t=1 w, zu t=0 wie alle andern auch unbestimmt)

A1: Aussagen können nicht nacheinander w und –w sein:
Fall W(A,t1)=w gibt es kein t2 mit W(A,t2)=-w. (A1 w ab 1+max t1,t2)

Folge: typische Aussagen sind zunächst für einige t unbestimmt und ab einem t1 dann stets wahr oder stets nicht wahr (oder stets unbestimmt).

Aussagen, die W1, A0 und A1 erfüllen, heißen chrono-logische Aussagen.

A2: Chronologiesatz:
Sind die Zeitpunkte t1<t2<t3<…<tn aufsteigend geordnet, und f ein aussagenlogischer Ausdruck
so ist die Gleichung W(An,tn) =w :<-> f(W(A1,t1), W(A2,t2), … , W(An-1,tn-1)) = w
durch eine chrono-logische Aussage An lösbar.

Beispiel:
1. W(An,2) =w :<-> f(W(A1,1)) = f((w,-w)) = w (dabei f die Konstante w)

1. Beispiel erfüllbar mit An gleich der ab 2 stets wahren Aussage.

2. W(An,1)=w :<-> f(W(A1,0))=w <-> f(w,-w)=w <-> (w,-w)=w (f=Identidät)

2. beispiel erfüllbar für W(An,1)=(w,-w).



Beispiel Lügner Aussage:

W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w
Erfüllbar für W(An,1)=(w,-w).

W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w v W(An,0)=(w,-w)
Erfüllbar für W(An,1)=(w,-w), aber auch für W(An,1)=w.

Problematisch sind Aussagen über alle Zeitpunkte:

W(L,t0)=w :<-> Für alle t>0 gilt W(L,t)=-w oder W(L,t)=(w,-w)

Hier wäre die rechte Seite niemals vollständig bestimmbar,
wir müssten unendlich lange darüber nachdenken …
Solche Bestimmungsgleichungen sind daher (zunächst?) nicht zugelassen.

Eine chrono-logische Aussage, die nicht stets unbestimmt ist,
wird ja durch den kleinsten t-Wert charakterisiert, für den sie ihren bestimmten Wert annimmt.

Dadurch kann man die Ungleichheit von Aussagen bestimmen, wenn mindestens eine Aussage bestimmt ist:

W(A,t1)=w und W(B,t2)=-w dann W(A=B,max t1,t2 +1)=-w
W(A,t1)=w und W(B,t2)=(w,-w) und t2>t1 dann W(A=B, t2+1)=-w

Die Gleichheit ist z.T schwierig zu bestimmen, da man bei einer Gleichung nicht die gleichen Zeitpunkte auf beiden Seiten nutzen darf (wir können meist nur den Wert von entweder A oder B zu t1 bestimmen und das nicht zugleich tun).

Metaaussagen:

Gewöhnlich gilt: W(A)=w dann auch W(W(A)=w) = w.
In Chrono-Logik benötigt jeder Denkakt einen eigenen Zeitpunkt.

Aus W(A,t1)=w folgt, dass t1 belegt ist (zumindest wenn t1 minimal ist) und somit W((A,t1)=w,t1) = (w,-w) , danach für t2>t1: W((A,t1)=w,t2) = w.

Ökonomie-(Minimum)prinzip:
Wurde einmal ein Wahrheitswert W(A,t1) ungleich (w,-w) ermittelt, so wird zu späteren Zeitpunkten t2 nur noch der Erinnerungswert von t1 benutzt und der Wert nicht neu bestimmt.

Folge für Metaaussagen: t1<t2<t3: W(W(A,t3)=w,t2) = W(W(A,t1)=w,t2) = w.


Anwendung auf Mengenlehre:

x e R :<-> x –e x

Jetzt: W(x e R,t+1)= w : <-> W(x e x, t )= -w

Ann. W(R e R, t) = -w -> W(R e R, t+1) = w -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = w -> W(R e R, t+1) = -w oder (w,-w) -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = (w,-w) -> möglich.

Verschärft: W(x e R,t+1)= w : <-> ( W(x e x, t )= -w oder W(x e x, t )=(w,-w) )

Ann. W(R e R, t) = -w -> W(R e R, t+1) = w -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = w -> W(R e R, t+1) = -w oder (w,-w) -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = (w,-w) -> W(R e R, t+1) = w (möglich, nur einmalig)

Also W(R e R,t) = w für t>0. Also Russellmenge chrono-logisch wohl möglich.


Cantorbijektion zur Potenzmenge:

Sei f: M -> P(M) eine bijektive Abbildung einer Menge M auf ihre Potenzmenge
(= Menge aller Teilmengen von M).

Wir bilden folgende Teilmenge von M:
Mf: x e Mf :<-> x –e f(x)
Chrono-logisch: W(x e Mf, t+1)=w <-> W(x e f(x),t) = -w
Sei f(x0)=Mf, dh x0 Urbild zu Mf.

1. Fall: W(x0 e f(x0),t) = w -> W(x0 e Mf=f(x0), t+1)= -w oder (w,-w) Widerspruch!
2. Fall: W(x0 e f(x0),t) = -w -> W(x0 e Mf=f(x0), t+1)= w Widerspruch!
3. Fall: W(x0 e f(x0),t) = (w,-w) -> W(x0 e Mf=f(x0), t+1)= -w oder (w,-w) möglich

2. Teilmenge: Mg: x e Mg :<-> x –e f(x) oder x (e,-e) f(x)
W(x e Mg, t+1)=w <-> W(x e f(x),t) = -w oder W(x e f(x),t) = (w,-w)
Sei f(x2)=Mg, dh x2 Urbild zu Mg.

1. Fall: W(x2 e f(x2),t) = w -> W(x2 e Mg=f(x2), t+1)= -w oder (w,-w) Widerspruch!
2. Fall: W(x2 e f(x2),t) = -w -> W(x2 e Mg=f(x2), t+1)= w Widerspruch!
3. Fall: W(x2 e f(x2),t) = (w,-w) -> W(x2 e Mg=f(x2), t+1)= w möglich (einmalig)

Also Bijektion zwischen Menge und Potenzmenge chrono-logisch wohl möglich.


Wohl noch nicht ganz ausgegoren,
aber die Richtung ist hoffentlich erkennbar.

Rückmeldungen willkommen (auch Widersprüche)!

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

den chrono-logischen Ansatz finde ich übrigens unabhängig von der Quantentheorie spannend:

Durch die Dreiwertigkeit hat man den schönen Startpunkt,
dass zur Stufe/Zeit 0 alle Aussagen unbestimmt sind.

Nun noch etwas Technik:
Im Prinzip kann ich jede dreiwertige Logik benutzen,
die die klassische zweiwertige Logik fortsetzt.
Am besten leuchtete mir dabei das Substitutionsprinzip ein:

Überall wo "u" (oder "(w,-w)") steht, ersetzt man dieses an jeder Stelle
und unabhängig voneinander durch "w" und "-w".
Erhält man bei Auflösung der dann klassisch zweiwertigen Formeln beide Wahrheitswerte,
so ist das dreiwertige Ergebnis "u",
sonst der eindeutige Wahrheitswert.

A : -A ___ A B :__A und B__A oder B__A -> B (-AvB)
w -w ____ w w______w_______w_______w
u u _____ w u______u________w_______u
-w w ____ w -w_____-w_______w______-w
________ u w_______u_______w_______w
________ u u_______u________u_______u
________ u -w______-w_______u_______u
________ -w w______-w______w_______w
________ -w u______-w_______u_______w
________ -w -w_____-w______-w_______w

(sorry für die unschöne Darstellung)

Inzwischen bin ich vom reinen "Robinsonansatz" wieder abgekommen:
Denn wenn jeder nur nacheinander bis tn maximal n Gedanken/Aussagen bewerten kann,
so lässt sich nicht einmal die Gleichheit von Aussagen
praktikabel definieren.
Also setze ich jetzt eine "Logikergemeinschaft" an,
und z.B. Metaaussagen über mehrere Aussagen zur Stufe/Zeit t
sind jetzt zu t+1 möglich.

Gruß
Trestone

 

[Gammel]

W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w W(Av n,0)=(w,-w)
Erfüllbar für W(An,1)=(w,-w), aber auch für W(An,1)=w.

Wieso erfüllt W(An,1)=w diese Gleichung ?

Folge: typische Aussagen sind zunächst für einige t unbestimmt und ab einem t1 dann stets wahr oder stets nicht wahr (oder stets unbestimmt).

Wozu brauche ich dann die t-Abhängigkeit? Es gibt 3 verschiedene Möglichkeiten: Eine Aussage wird entweder irgendwann wahr, oder falsch oder bleibt ewig unbestimmt. Erhälst du dann nicht eine zeitunabhängige 3-wertige Logik, wenn du t->unendlich gehen lässt.

Was kann deine zeitabhängige Logik mehr leisten, als eine 3-wertige zeitunabhängige?

Oder willst du eine Art Beweisstheorie für Logik machen? Z.B. welche Aussagen kann ich in 10^10 Schritten beweisen....

 

[Trestone]

Hallo Gammel,

ich hatte versucht, den erweiterten/verallgemeinerten "Lügner" zu definieren mittels:
W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w v W(An,0)=(w,-w)

Da alle Aussagen in Stufe/zu Zeitpunkt 0 unbestimmt (=(w,-w)) sind,
ist die rechte Seite erfüllbar und damit W(An,1)=w eine Lösung.

Es ist richtig, dass für t-> unendlich nur drei möglichkeiten bestehen.
Trotzdem könnte die Chrono-Logik sich von gewöhnlichen dreiwertigen Logiken unterscheiden:
Z.B. kann eine Aussage nicht zugleich (identisches t) mit ihrer Metaaussage wahr sein.
Was genau anders ist und ob es zum Beispiel beim Aufbau einer Mengenlehre hilfreich ist
bleibt noch zu untersuchen.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

ich habe mir inzwischen nochmals Gedanken zur Gleichheit gemacht:

Für die Wahrheitswerte w, u, -w nehme ich jetzt folgendes an:

W(w=w,1)=w; W(w=u,1)=-w; W(w=-w,1)=-w
W(u=w,1)=-w; W(u=u,1)=u; W(u=-w,1)=-w
W(-w=w,1)=-w; W(-w=u,1)=-w; W(-w=-w,1)=w

insbesonder ist W(u=u,1) = u (und nicht etwa w).

Gruß
Trestone

 

[Gammel]

Für die Wahrheitswerte w, u, -w nehme ich jetzt folgendes an:

W(w=w,1)=w; W(w=u,1)=-w; W(w=-w,1)=-w
W(u=w,1)=-w; W(u=u,1)=u; W(u=-w,1)=-w
W(-w=w,1)=-w; W(-w=u,1)=-w; W(-w=-w,1)=w

Ist A=B nicht in etwa (A & B) v (-A & -B). Ergeben sich dann aus deinen (beiden) obigen Regeln nicht andere Werte?

Beispiel: W(-w=u,1)=-w
Wenn u=(w,-w) unbestimmt ist, dann kommt im -w fall doch w raus. D.h. es gibt beide Möglichkeiten und damit sollte u rauskommen.

Oder -w=u :<=> (-w & u) v (w & -u) ist nach deinen obigen Regeln -w v u <=> u.

Ich finde diese Regeln sehr unintuitiv und würde eher vorschlage A=B konsequnt als (A & B) v (-A & -B) zu definieren ?

 

[Trestone]

Hallo,

inzwischen habe ich die Gleichheit noch einmal näher betrachtet
und meinen Ansatz leicht verändert:

Der Schlüssel scheint mir die Betrachtung von „W(A,t) = w“ zu sein,
d.h. die Behauptung, dass eine Aussage A in Stufe t den Wert w annimmt.
Dies ist selbst eine Aussage, aber eben eine (Meta-)Aussage über den Wahrheitswert einer (anderen) Aussage.
Und diese Aussage ist eigentlich selbst nicht stufenabhängig und wohl auch entweder wahr oder falsch und nie unbestimmt.
(Dies trifft auch für „W(A,t) = -w“ und „W(A,t) = u“ zu.)

Daher will ich neben den dreiwertigen Stufenaussagen noch klassisch zweiwertige Metaaussagen zulassen,
die Aussagen über Werte von Stufenaussagen treffen,
also eine Teilaussage der Art „W(A,t) =…“ enthalten.
Dabei ist das Gleichheitszeichen entscheidend, denn ohne es ist der Wahrheitswert
sozusagen noch nicht gemessen und möglicherweise unbestimmt
(Analogie zur Dekohärenz in der Quantentheorie, Metaaussagen sind Aussagen über gemessene (fixierter) Werte.)

Die Gleichheit von (chronologischen) Aussagen erkennt man jetzt als Metaaussage:

W(A=B) = w :<-> Für alle t: W(A,t) = W(B,t) wenn A, B Stufenaussagen sind
W(A) = W(B) wenn A,B Metaaussagen sind
(wenn A Metaaussage ist, dann auch ist auch "W(A)=…" eine Metaaussage).

Auch in der Mengenlehre kann man zwei Arten von Mengen unterscheiden:

Stufenmengen S, für die W(x e S, t) die Werte w, u, -w annehmen kann.

Und Metamengen, wie z.B. W(x e M, t+1) = w :<-> x = a
(Einermenge mit Element a).
x = a bedeutet dabei: Für alle d, für alle z: W(z e x , d) = W(z e a, d)
In der Definitionsaussage von Metamengen M taucht „W(x e S, t) = …“ auf,
wieder ein „fixierter“ Wert und daher hat eine Metamenge keinen echten Stufenbezug
und keine unbestimmten Elemente.

Auch Teilmengen lassen sich nur unter Bezug auf „W(x e S, t) = …“ definieren,
daher ist die Potenzmenge als Menge aller Teilmengen (z.B. zu Stufe t+1)
selbst eine Metamenge.

Interessanterweise haben wir mit der Einermenge und der Potenzmenge
gerade die Mengen als Sondermengen erkannt,
die beim Ausbau der Mengenlehre am problematischsten erschienen:
Die Einermenge als Grundlage der natürlichen Zahlen (was klassisch zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz führt)
und die Potenzmenge als Schlüssel zu überabzählbaren Unendlichkeiten
(über den Cantorschen Diagonalbeweis).

So besteht die Hoffnung, dass dies beides in unserem System vermieden werden kann,
allerdings ist erst noch zu untersuchen, ob damit überhaupt eine Arithmetik möglich ist.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

neben den gestern angedeuteten Parallelen zur Quantentheorie
kann man die Stufen-Meta-Logik auch philosophisch einordnen:

„In Stufe 0 sind alle Stufenaussagen unbestimmt“ entspricht dem Descarteschen Zweifel als Ausgangspunkt.
„W(W(A,0)=u) = w“ , also es ist wahr, dass in Stufe 0 alles ungewiss ist,
entspricht dem „ich weiß, dass ich nichts weiß“ von Sokrates.

Ich vermute, dass in der Meta-Stufen-Logik letztlich alle Gewissheiten
auf der Ungewissheit der Stufe 0 gründen, die damit das Fundament bildet.

Dazu sind die Wahrheitswerte der Stufen 1,2,… geeignet (rekursiv?) zu definieren.

Wie sieht es nun mit dem berühmten Lügnersatz L „Dieser Satz L ist nicht wahr“
in der Meta-Stufen-Logik aus?

1.Fall: L ist eine Stufenaussage mit W(L,t).
Dann bedeutet „L ist nicht wahr“: W(L,t) ist ungleich w (also gleich –w oder gleich u).
Damit enthält L aber eine Aussage über den Wahrheitswert einer Stufenaussage
und L ist damit eine Metaaussage, also eindeutig w oder –w.

2.Fall: L ist Metaaussage. Dann muss L eine Aussage über den Wert einer Stufenaussage enthalten.
Der einzige Wert, über den L etwas aussagt ist der von L selbst, also muss L eine Stufenaussage sein.

In beiden Fällen muss L also zugleich Metaaussage und Stufenaussage sein.
Da die einen nur stufenabhängige Wahrheitswerte haben
und die anderen nur einen stufenunabhängigen Wert scheint das kaum möglich zu sein.
Der Lügneraussage fehlt also die Fundierung.

Man kann Metaaussagen M auf Stufe 0 mit Wert u erweitern
und auf W(M,t):=W(M) für t=1,2,… und Stufenaussagen S ihren Grenzwert
W(S):= Lim t->… W(S,t) als Metawert zuordnen.

Für den Lügnersatz bedeutet dies:
W(L)= W( W(L,t)=u v W(L,t)=-w ) , für t=0: W(L)= W( u=u v u=-w ) = w
Damit W(L,1)=w . Der Lügnersatz wäre also wahr.

Es ist aber auch ein t-Lügnersatz möglich:
„Dieser Satz T ist für alle t nicht wahr“
W(T)= W( für alle t: W(T,t) = u v W(T,t)=-w)
1.Fall Für alle t : W(T,t)=u. Dann W(T)=w und damit W(T,1)=w, Widerspruch!
2.Fall Es gibt t0 mit W(T,t0)=w. Dann W(T)=-w und W(T,t0)=-w, Widerspruch!
3.Fall Es gibt t0 mit W(T,t0)=-w. Dann W(T)=-w und es gibt t1 mit W(T,t1)=w, Widerspruch!
Der t-Lügnersatz ist also keine Meta-Stufen-Aussage mit Wahrheitswert.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

obwohl die Trennung (a la Tarski) zwischen Objektsprache (Stufenaussagen) und Metasprache
(Aussagen über Wahrheitswerte von Stufenaussagen) zunächst nahe lag,
habe ich sie inzwischen wieder verworfen:

Die Metaaussagen sind einfach spezielle Stufenaussagen,
die schon in Stufe 1 entweder w oder –w sind,
d.h. alle von mir betrachteten Aussagen sind Stufenaussagen.

Ist vielleicht etwas verwirrend, aber ich stelle ja keine fertige Logik oder Theorie vor,
sondern entwickele diese „live bzw.online“.

Dies hat den Vorteil, dass in der Stufen-Chrono-Logik im Prinzip auch selbstbezügliche Aussagen zulässig und möglich sind.

Der Ausdruck M := „W(A,t) = w“ zu einer Stufenaussage A ist selbst eine (meist andere) Stufenaussage,
aber eben nicht zur Stufe t oder t+1 sondern –
wie alle Stufenaussagen – stufenunabhängig und nur mit ggf. unterschiedlichen Werten je Stufe 0,1,2,… .
Für M gilt W(M,0)=u (wie bei allen Stufenaussagen),
zudem gilt für M, dass entweder W(M,1) =w oder W(M,1) =-w
und dieser Wert dann auch für alle t>1.

Gleichheit von Wahrheitswerten:
W(w=w,1):=w ; W((u=u,1):=w ; W(-w,-w,1):=w W(x=y):=-w sonst

Hier können wir jetzt einige Bildungsregeln für chrono-logische Aussagen betrachten:

B1: Ist A (wie zum Start des threads definiert),
so auch –A und es gilt für alle t: W(-A,t) := -W(A,t).
eine chrono-logische Aussage
B2: Sind A und B chronologische Aussagen, so auch „A und B“, „A v B“, „A->B“
und es gilt für alle t: W(A und B):= W(A,t) und W(B,t) (analog mit v),
W(A->B,t):= W(-AvB,t) .

B3: Ist A eine chrono-logische Aussage, dann sind auch „W(A,t)=w“, „W(A,t)=u“, „W(A,t)=-w“ für beliebige t chronologische Aussagen
(die in Stufe 1 ungleich u sind).

B4: Ist A eine chrono-logische Aussage, dann sind auch „Es existiert ein t0>=d mit W(A,t0)=w“,
„Es existiert ein t0>=d mit W(A,t0)=u“, „Es existiert ein t0>= mit W(A,t0)=-w“
chronologische Aussagen (die in Stufe 1 ungleich u sind).

B5: A eine chrono-logische Aussage, dann sind auch „Für alle t>=d gilt: W(A,t)=w“,
„Für alle t>=d gilt: W(A,t)=u“, „Für alle t>=d gilt: W(A,t)=-w“ chrono-logische-Aussagen (die in Stufe 1 ungleich u sind).

B6: Sind A und B chronologische Aussagen, so auch „A = B“
und es gilt „A=B“:= „Für alle t>=0 gilt: W(A,t)=W(B,t) „
W(A=B,0)=u, W(A=B,1) ist entweder w oder –w.

Dass diese Definitionen und Bildungsregeln jeweils zu Aussagen führen, die die chrono-logischen Grundeigenschaften
(Dreiwertigkeit, Wert u in Stufe 0, Monotonie und Widerspruchsfreiheit) erfüllen,
führe ich hier nicht aus, habe es aber überprüft.

Jetzt können wir (erneut) einige chrono-logischen Varianten des Lügnersatzes analysieren:

L1:= Diese Aussage ist in Stufe 1 nicht wahr.

Wir betrachten die Teilaussage „Aussage ist in Stufe 1 nicht wahr“
und beschreiben sie mittels einer fiktiven Aussage L als „W(L,1)=-w“.
Letzteres ist (falls L eine Stufenaussage ist) nach B3 eine chrono-logische Aussage.

1. Fall: Es gilt W(L,1)=w. Dann ist W(W(L,1)=-w,1)=-w
Damit ist W(L1,1) = W(W(L,1)=-w,1) = -w während W(L,1)=w,
also können L und L1 nicht gleich sein, das „Diese“ ist nicht mit chrono-logisch vereinbar.

2. Fall: Es gilt W(L,1)=u. Dann ist W(W(L,1)=-w,1)=-w
Damit ist W(L1,1) = W(W(L,1)=-w,1) = -w während W(L,1)=u,
also können L und L1 nicht gleich sein.

3. 3. Fall: Es gilt W(L,1)=-w. Dann ist W(W(L,1)=-w,1)=w
Damit ist W(L1,1) = W(W(L,1)=-w,1) = w während W(L,1)=-w,
also können L und L1 nicht gleich sein.


L2:= Diese Aussage ist in Stufe 1 nicht wahr oder unbestimmt.

Setze an: „W(L,1)=-w v W(L,1)=u“

1. Fall: Es gilt W(L,1)=w. Dann ist W(W(L,1)=-w v W(L,1)=u ,1)=-w
Damit ist W(L2,1) = W(W(L,1)=-w v W(L,1)=u,1) = -w während W(L,1)=w,
also können L und L2 nicht gleich sein.

2. Fall: Es gilt W(L,1)=u. Dann ist W(W(L,1)=-w v W(L,1)=u ,1)=w
Damit ist W(L2,1) = W(W(L,1)=-w v W(L,1)=u,1) = w während W(L,1)=u,
also können L und L2 nicht gleich sein.

3. Fall: Es gilt W(L,1)=-w. Dann ist W(W(L,1)=-w v W(L,1)=u ,1)=w
Damit ist W(L2,1) = W(W(L,1)=-w v W(L,1)=u,1) = w während W(L,1)=-w,
also können L und L2 nicht gleich sein.

L3:= Diese Aussage ist in allen Stufen nicht wahr oder unbestimmt.

Setze an: „Für alle t gilt: W(L,t)=-w v W(L,t)=u“

1. Fall: Für alle t gilt: W(L,t)=u v W(L,t)=-w
Dann ist W(„Für alle t gilt: W(L,t)=-w v W(L,t)=u,1) = w = W(L3,1),
aber W(L,1)=u v W(L,1)=-w, also L ungleich L3.

2. Fall: Es gibt t0 mit W(L,t0)= w.
Dann ist W(„Für alle t gilt: W(L,t)=-w v W(L,t)=u,1) = -w = W(L3,1),
wegen Monotonie/Widerspruchsfreiheit kann W(L3,t0) nicht w sein, also L ungleich L3.

Versuch A4:= Diese Aussage ist für alle Stufen>=1 wahr.

Setze an: „Für alle t gilt: W(A,t)=w“

1. Fall: W(A,1)=w, dann ist „Für alle t gilt: W(A,t)=w“ wg. Monotonie erfüllt,
d.h. W(Für alle t gilt: W(A,t)=w,1)=w =W(A4,1).
Damit stimmen A und A4 überein (A=A4) und der Selbstbezug ist möglich.

2. Fall: W(A,1)=u, dann ist „Für alle t gilt: W(A,t)=w“ nicht erfüllt,
d.h. W(Für alle t gilt: W(A,t)=w,1)=-w =W(A4,1).
Damit stimmen A und A4 nicht überein und der Selbstbezug ist nicht möglich.

3. Fall W(A,1)=-w, dann ist „Für alle t gilt: W(A,t)=w“ nicht erfüllt,
d.h. W(Für alle t gilt: W(A,t)=w,1)=-w =W(A4,1).
Damit stimmen A und A4 überein (A=A4) und der Selbstbezug ist möglich.

Wie in der klassischen Logik erhalten wir zwei mögliche Lösungen,
d.h. selbstbezügliche Sätze sind weiter möglich,
Wie oben gezeigt können wir aber die Lügnersätze als nicht chrono-logisch identifizieren.

Das lässt doch hoffen!

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

zwar ist die Chronologische-Stufen-Aussagenlogik jetzt erst grob umrissen,
aber nun möchte ich auch die Stufen-Mengenlehre einführen,
da sie sehr interessante Möglichkeiten bietet:

Die Grundidee ist natürlich bei Mengen ganz analog zu den Aussagen:

WM1: Stufenmengen M haben zu jedem Zeitpunkt (bzw. jeder Stufe) t zu jeder Stufenmenge x eine Elementbeziehung E(M, x , t).
E(M,x,t) kann jeweils einen der Werte w, -w, u annehmen.

Für E(M,x,t)=w schreiben wir auch „M e(t) x“, x ist „(echtes, volles) Element“ von M zu t
für E(M,x,t)=-w schreiben wir auch „M -e(t) x“, x ist „Nicht-Element“ von M zu t
für E(M,x,t)=u schreiben wir auch „M (e)(t) x“, x ist „unbestimmtes Element“ von M zu t

WM0: Zum Zeitpunkt (bzw. zur Stufe) 0 haben alle Stufenmengen nur unbestimmte Elemente, d.h. für alle M,x gilt: E(M,x,0)=u.

WM2: Keine Menge x kann zu einer Menge M in einer Stufe gehören und in einer (auch nicht anderen) Stufe nicht gehören.
Gilt E(M,x,t)=w so gilt auch E(M,x,t+1)=w
Gilt E(M,x,t)=-w so gilt auch E(M,x,t+1)=-w

Folge: typische Mengen haben x zunächst für einige t als unbestimmtes Element und ab einem t1 dann stets entweder als Element oder als Nicht-Element.

Klassisch werden Mengen (auch) über Eigenschaften bzw. Aussagen zu ihren Elementen definiert.

Ich wähle natürlich chrono-logische-Stufenaussagen A(x) zu den Elementkandidaten x.

Die Elementbewertungsfunktion E(M,x,t) können wir uns auch als „Ableger“ der Stufenaussage „x ist Element von M“ E(M,x) vorstellen,
dann gilt W(E(M,x),t) = E(M,x,t).

1. Möglichkeit: Sei A(x) eine chronologische-Stufenaussage (für jede Stufenmenge x).
Dann definiert
E(M,x,t+1) := W(A(x),t) eine Stufenmenge M,
wobei diese Definition für t=0,1,… nur so lange gilt, bis der erste Wert ungleich u erreicht wird.
(da W(A(x),0)=u gilt x (e)(1) M für alle x und A).

2. Möglichkeit: Sei A(x) eine chronologische-Stufenaussage (für jede Stufenmenge x).
Dann definiert
E(M,x,t+1) := W(W(A(x),t)=u,1) eine Stufenmenge M,
wobei diese Definition für t=0,1,… nur so lange gilt, bis der erste Wert ungleich u erreicht wird.
(da W(A(x),0)=u gilt x e(1) M für alle x und A und damit x e(t+1) M für alle t>=0).

3. Allgemein:
Sei A(M,x) eine chronologische-Stufenaussage (für jede Stufenmenge x) in der M vorkommen darf
und B(x) eine chronologische-Stufenaussage (für jede Stufenmenge x) in der M (bzw. Eigenschaften bezogen auf M) nicht vorkommt
und seien F und G logische Funktionen

dann definiert

E(M,x,t+1) := F ( W(A(M,x),d ) v G ( W(B(x), r ) (wobei d<=t und r beliebig, das „v“ darf auch durch „und“ ersetzt werden)

(wobei diese Definition für t=0,1,… nur so lange gilt, bis der erste Wert ungleich u erreicht wird)

eine Stufenmenge M.

Gleichheit:
Zwei Stufenmengen M1 und M2 heißen gleich (M1=M2), wenn für alle x und alle t gilt E(M1,x,t) = E(M2,x,t).

Zwei Mengen sind auch gleich, wenn ihre definierenden Aussagen F ... G gleich sind.

Beispiele:

Leere Menge 0:
E(0,x,t+1) := W( W(x=x,0)=w , 1 );
Es gilt E(0,x,1)= W(u=w,1)=-w und damit E(0,x,t+1)=-w für alle t>=0 (und alle x).

Volle Menge All:
E(All,x,t+1) := W( W(x=x,0)=u , 1 );
Es gilt E(All,x,1)= W(u=u,1)=w und damit E(All,x,t+1)=-w für alle t>=0 (und alle x).

Un-Menge U:
E(U,x,t+1) := E(U,x,t);
Es gilt E(U,x,1) = W(U,x,0)=u ; allg. gilt E(U,x,t+1)=u für alle t>=0 (und alle x).

Mit der All-Menge haben wir einen großen unterschied zu klassischen Mengenlehren:
Die Menge aller Mengen ist hier eine Menge!

Wie wir später sehen werden, steht All via Identität in Bijektion zu ihrer Potenzmenge (in Stufe 1), die wieder All selbst ist.
Wenn es uns daher gelingt, in der Stufenmengenlehre eine Arithmetik zu entwickeln,
so brauchen wir uns nicht mit Überabzählbarkeit herumzuärgern.

Eine solche alternative Mathematik (und Logik) ist letztlich das Ziel meiner Bemühungen
(wobei ich eine einfachere Lösung ohne Stufen t bevorzugt hätte…).

Beispiel Russell-Menge R:
Variante 1:
E(R,x,t+1) := W( E(x,x,t)=-w v E(x,x,t)=u, 1 ) (+ Stufenmonotonie)
Es gilt E(R,x,1) = W( E(x,x,0)=-w v E(x,x,0)=u , 1) = W( u=-w v u=u , 1 ) = w (für alle x) damit E(R,x,t+1)=w alle t>=0 (und alle x,
insbesondere für x=R, also R=All.

Variante 2:
E(R,x,t+1) := W( E(x,x,t)=-w, 1 ) (+ Stufenmonotonie)
Es gilt E(R,x,1) = W( E(x,x,0)=-w , 1) = W( u=-w , 1 ) = -w (für alle x)
damit E(R,x,t+1)=-w alle t>=0 (und alle x, insbesondere für x=R, also R=0.

Variante 3:
E(R,x,t+1) := W(Für alle d: E(x,x,d)=-w v E(x,x,d)=u, 1 ) (+ Stufenmonotonie)
Betrachte x=R:
E(R,R,1) = W( Für alle d: E(R,R,d)=-w v E(R,R,d)=u, 1 )
1.Fall: Für alle d gilt E(R,R,d) ist u oder –w. Dann ist E(R,R,1)=w; Widerspruch zu d=1.
2.Fall Es gibt d0 mit E(R,R,d0)=w. Dann E(R,R,1)=-w ; Widerspruch zu Stufenmonotonie.

Aber definiert unsere obige Funktion überhaupt eine Stufenmenge?
E(x,x,d) hat insbesondere für x=R einen Bezug auf R,
ist also wohl nicht mengenbildend.

Welche Aussagen zulässig und stufenmengenbildend sind ist noch präziser auszuführen.


Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

in die threads zu "Stufenlogik" und "Achill, Schildkröte und Quanten"
habe ich eben Verweise auf diesen Thread (Chrono-Logik) eingebaut.

Die Logik will ich aber hier weiterentwickeln.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

als Amateur erlaube ich mir den Luxus, formal unvollständig und unsystematisch zu sein (zumindest für Logiker und Mathematiker),
ja insgesamt ist mir das Ganze schon viel zu formal und formelbehaftet geraten.

Vielleicht findet sich ja jemand, der diese Arbeit (z.B. als Diplomarbeit oder Dissertation) übernimmt?

Wenn mich meine Intuition nicht täuscht,
kann man mit einer auf der chrono-logischen-Stufenlehre basierenden Mathematik wohl fast alle über Widerspruchsbeweis gezeigten Schlüsse aufheben,
also z.B. Irrationalität von Wurzel 2, Überabzählbarkeit der Potenzmenge der natürlichen Zahlen, Gödels Unvollständigkeitssatz, ... .

Denn meist wird der Widerspruch in einer anderen Stufe konstruiert
oder die konstruierten Hilfsmengen sind gar keine Stufenmengen.

Wofür "t" in meiner Theorie steht (Stufe oder Zeit oder logische Ebene) weiß ich übrigens selbst nicht.

V.a. was wir uns unter Stufe 0 vorstellen sollen, bei der alles "unbestimmt" ist, bleibt schwierig.
Ideen dazu: Urknall, Bewußtseinsstart, ...

Das schöne ist, dass Theorien auch ohne vollständige Deutung benutzt und entwickelt werden können.


Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

Nun schaffen wir die Voraussetzungen für natürliche Zahlen und Arithmetik:

Dazu benötigen wir eine Nachfolgerfunktion, die jeder Menge m ihren Nachfolger m´ zuordnet (in Stufe t).

Sei m eine chrono-logische Stufenmenge.

Definiere m´ über: Für alle x, für alle t gilt: E(m´,x,t+1) := E(m,x,t) v W(x=m,1)

m´ heißt Nachfolger von m in Stufe 1.

Erfüllt diese Nachfolgerbildung die Peano-Axiome?

Zitiert nach wikipedia:
1. 0 ist eine natürliche Zahl.
2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
4. Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl.
5. Von allen Mengen X, welche
o die Zahl 0 und
o mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger n'
enthalten, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste.
Ende Zitat wikipedia.

Wir betrachten 2.: Ist unsere Nachfolgermenge eindeutig?
Da Stufen-Mengen M über die Elementfunktion E(M,x,t) festgelegt sind, ist dies für m´ erfüllt.

Zu 3.: E(m´,m,t+1) = E(m,m,t) v W(m=m,1) = w
m´enthält also in allen Stufen >=1 mindestens m als Element und ist damit ungleich 0.

Zu 4.: Sei m´= n´
Dann gilt für alle x, für alle t: ( E(m´,x,t+1) := E(m,x,t) v W(x=m,1) ) <-> ( E(n´,x,t+1) := E(n,x,t) v W(x=n,1) ),
also für alle t, für alle x: E(m,x,t) v W(x=m,1) <-> E(n,x,t) v W(x=n,1)
Setze t=0: u v W(x=m,1) <-> u v W(x=n,1)
Setze x=m: w <-> W(m=n,1), also gilt m=n.

Eine Stufenmenge I heißt t-induktiv, wenn E(I,0,t)=w gilt
und aus E(I,n,t)=w folgt, dass E(I,n´,t) gilt.
(Also wenn 0 in Stufe t Element von I ist und mit jedem Element n von I in Stufe t
auch dessen Nachfolger n´ Element von I in Stufe t ist.)

Klar: Unsere All-Menge All ist t-induktiv für alle t >=1.

Soweit für heute.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

die Stufenlogik hat in der jetzigen Form noch einen Schönheitsfehler:

Auf der Metaebene (z.B. bei Beschreibung/Zuordnung des Wahrheitswertes einer Aussage)
kommt ja noch die "klassische" Logik zum Einsatz:

Beispiele:

W1: Aussagen A haben zu jedem Zeitpunkt t Wahrheitswerte W(A,t).
W(A,t) kann jeweils einen der Werte w, u, -w annehmen,
dabei steht u für "unbestimmt".


A0: Zum Zeitpunkt 0 sind alle Aussagen u (d.h. unbestimmt).

Zwar hatte ich angedeutet, dass man W1 als in Ebene t+1 wahr ansehen kann und A0 als wahr in Ebene 1,
aber diese Teilaussagen bräuchten ja wieder eine Stufe usw.

Eine überzeugende Lösung dazu habe ich noch nicht,
aber ich experimentiere z.Zt. mit folgendem Ansatz:

(Meta-)Aussagen der Form "W(A,t)=m" mit m einer der drei möglichen Wahrheitswerte w,u,-w
sind in höheren Ebenen als t "klassisch",
d.h. ab t+1 entweder w oder -w.
W ( W(A,t)=m , t+1 ) = entweder w oder -w.

Gilt umgekehrt W ( W(A,t)=m , t+1 ) =w, so gilt W(A,t)=m .

Was mit W ( W(A,t)=m , d ) für 1 <=d<=t ist, bleibt noch offen.
Es könnte jeweils unbestimmt sein (wie bei d=0),
aber z.B. auch ab einem d jeweils w sein.

Dies hätte Auswirkungen auf die Gleichheit von Stufenaussagen:

Es könnte dann zwar gelten: (G): W(A1,t) = W(A2,t) für alle t,
aber z. B. W( W(A1,3)=w, 2) = u und W( W(A2,3)=w, 2) = w.

Trotz (G) wären A1 und A2 also nicht stufenlogisch gleich
(da meta-ungleich).

Ob es sich lohnt, die Gleichheit über Metastufen ( und Meta-Meta-Stufen usw.) einzuführen -
oder ab wo man am besten "klassisch" wird,
kann ich noch nicht absehen.

Gerade in der Mengenlehre finde ich es aber intuitiv wichtig,
die Metaebene mitzubetrachten:
z.B. das Minimum einer Menge von Elementen der Stufe t ist selbst erst in (Meta?-)Stufe t+1 bekannt.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

Nach 10 Jahren habe ich endlich zu den Metaebenen eine einigermaßen konsistente Idee
(leicht anders als im vorhergehenden Beitrag):

Stufen sind nach oben blind,
und All-Stufen-Aussagen bei Zutreffen ungewiss.

Formal:
W ( W(A,t)=m , d) = u für d <= t
W ( W(A,t)=m , d) = entweder w oder –w für d > t

W( Es existriert t0 mit W(A,t0)=m , d ) = u für d <= t0 (falls ein solches t0 existiert)
W( Es existriert t0 mit W(A,t0)=m , d ) = w für d > t0 (falls ein solches t0 existiert)

W( Es existriert t0 mit W(A,t0)=m , d ) = u für beliebige d (falls ein solches t0 nicht existiert)
Im letzteren Fall ist lim (d->…) W( Es existriert t0 mit W(a,t0)=m , d ) = u
und dieses u bedeutet die Nichtexistenz eines solchen t0 (gewissermaßen –w).

Analog:
W( Für alle t>= t0 gilt: W(A,t)=m , d ) = u für d <= t0 und für d <= t1 falls W(A,t1) ungleich m und t1 minimal)
W( Für alle t>= t0 gilt: W(A,t)=m , d ) = –w für d > t1 (falls W(A,t1) ungleich m)

W( Für alle t>= t0 gilt: W(A,t)=m , d ) = u für beliebige d (falls ein t1 (Gegenbsp.) nicht existiert)
Im letzteren Fall ist lim (d->…) W( Für alle t>= t0 gilt: W(A,t)=m , d ) = u
und bedeutet, dass es kein Gegenbeispiel gibt, also gewissermaßen w.


Die stufenlogische Gleichheit von Aussagen ist nun wie folgt definiert:

A1=A2 := Für alle t: W(A1,t) = W(A2,t)

Also:
W(A1=A2,d) = W( Für alle t: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = -w (falls d>t1 und W(A1,t1) -= W(A2,t1).
W(A1=A2,d) = W( Für alle t: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = u sonst.
D.h. bei Gleichheit ist W(A1=A2,d)=u (und nicht = w).

Wir müssen also eine weitere Metastufe heranziehen, um Gleichheit als w bewerten zu können.

Z.B. W ( lim (d-> …) W(A1=A2,d) = u ,1) = w falls A1=A2
und W ( lim (d-> …) W(A1=A2,d) = u ,1) =-w sonst.

Abkürzung: W ( lim (d-> …) W(A1=A2,d) = u ,1) := W(A1==A2,1).

Damit kann nun auch wieder die Mengennachfolgerfunktion definiert werden:

E(x,n´,t+1) = E(x,n,t) v W(x==n,1).

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

Ganz langsam und allmählich beginne ich meine Stufenlogik zu begreifen:

Bisher konnte ich ja nicht sagen, was Stufen eigentlich sind.

Nun habe ich denke ich zwei fundamentale Eigenschaften „gefunden“:

A) Stufen sind für sich selbst und nach oben blind,
d.h. aus der Wahrheit einer Aussage in Stufe t
darf nichts über den Wahrheitswert einer anderen Aussage in Stufe t
oder in einer größeren Stufe ableitbar sein
(außer wenn diese Aussage ab t-1 konstant ist).
In gewisser Weise gehört der Wahrheitswert einer Aussage in Stufe t zu Stufe t+1.

B) Aussagen über alle Stufen sind nur scheinbar problematisch:
Denn gibt es zur Aussage A eine Stufe t0 mit W(A,t0) -= u,
dann ist W(A,t) ab t0 konstant (und größere Stufen können mit t0 gleichgesetzt werden, d.h. es müssen nicht unendlich viele Stufen betrachtet werden.)

Betrachten wir nun unsere Axiome:

A0: Zum Zeitpunkt (=Stufe) 0 sind alle Aussagen u (d.h. unbestimmt).

Oder:

A0: Für alle Stufenaussagen A gilt: W(A,0) = u

Ist A0 eine Stufenaussage?

Behauptung: A0 ist eine Stufenaussage und es gilt: W(A0,0)= u , W(A0,1) = w.


A3: Stufenaussagen A haben zu jedem Zeitpunkt t Wahrheitswerte W(A,t).
W(A,t) nimmt jeweils genau einen der Werte w, u, -w an.

Oder:

A3: Für alle A und für alle t gilt: Entweder W(A,t)= w oder W(A,t)=u oder W(A,t)=-w.

A3 bezieht sich auf alle Stufen t. Daher scheint es zunächst fraglich, ob A3 selbst eine Stufenaussage sein kann.

Behauptung: A3 ist eine Stufenaussage und es gilt: W(A3,0)= u , W(A3,1) = w.

Aus dem Wissen, dass W(A3,1)=w gilt, können wir keine Informationen über W(A,1) für beliebige andere Aussagen A ableiten, da weder w noch u noch –w als Wert ausgeschlossen wird.


A1: Stetigkeit: Stufenaussagen A haben mit steigendem t solange den Wert u,
bis sie erstmals einen anderen Wert annehmen.
Ab dann haben sie konstant diesen Wert.

Oder:

A1: Für alle Stufenaussagen A und beliebiges t gilt:
Wenn W(A,t)-=u, dann W(A,t+1)=W(A,t).

Behauptung: A1 ist eine Stufenaussage und es gilt: W(A1,0)= u , W(A1,1) = w.

W(A1,1)=w liefert ja nur eine bedingte Aussage zu W(A,t) und W(A,t+1).

D2a: 1. Definition Gleichheit:
Zwei Stufenaussagen sind gleich, wenn sie in allen Stufen gleiche Werte haben.

A1=A2 :<-> Für alle t: W(A1,t) = W(A2,t)

Behauptung: Für beliebige Stufenaussagen A1, A2 ist A1=A2 eine Stufenaussage.

Hier ist der Werteverlauf schon problematischer:

Vergleichen wir z.B. eine unbekannte Aussage X mit der stets unbestimmten Aussage U so könnten wir aus W(X=U,1) = w z.B. auf W(X,3)=u schließen.
Andererseits wäre X ja konstant. (Betrachten wir unten noch genauer).

W(A1=A2,t+1) = -w , falls t1<t +1existiert mit W(A1,t1)-=W(A2,t1).
W(A1=A2,t+1) = w , falls für alle 0<d<t+1 gilt W(A1,d)-=W(A2,d) und falls W(A1,t)-=u.
W(A1=A2,t+1) = u sonst.

Außer im Falle von U=U gilt: Gleichheit ist für hinreichend große t entweder w oder –w.

D4: Stufenzuordnung: Hat eine Aussage A ab Stufe t0 einen konstanten Wert,
so nennen wir A eine Aussage der Stufe t0 und setzten t(A):=t0.

Es gilt: W(A,t) = W(A, t(A)) für alle t >= t(A).

S5: t<t(A) -> W(A,t)=u und t >= t(A) -> W(A,t) = W(A,t(A)).

S6: Metawerte: W ( W(A,t)= w , d ) = w , falls d>t und W(A,t)=w.
W ( W(A,t)= w , d ) = -w , falls d>t und W(A,t)-=w.
W ( W(A,t)= w , d ) = u, falls d<=t und d<=t(A)
W ( W(A,t)= w , d ) = w, falls d<=t und d>t(A) und W(A,t)=w.
W ( W(A,t)= w , d ) = -w, falls d<=t und d>t(A) und W(A,t)-=w.

S7: Meta-Allaussagen: LA:= Für alle t gilt: W(L,t)= u oder W(L,t)= -w

1. Fall: t(L)=0 -> W(L,t)=u für alle t (und W(L,t)=W(L,0)) -> W(LA,1)=w.
2. Fall t(L)=t0>0 -> W(LA,t0+1) = W(für alle t<=t0 gilt: W(L,t)= u oder W(L,t)=-w)

S7: Substutitionsprinzip (Verendlichung in t):
Eine All-t-Aussage über A kann durch eine Aussage bei t(A)=0 zu Stufe 0
oder zu t= 0,1,…,t(A) bei t(A)>0 ersetzt werden.
Analog genügt statt „Es existiert ein t“ das begrenztere „Es existiert ein t<=t(A)“ zu betrachten.

D2b: 2. Definition Gleichheit:
Zwei Stufenaussagen A1 und A2 sind gleich, wenn sie zur gleichen Stufe gehören und dort den gleichen Wert haben.
(Zwei Stufenaussagen sind ungleich, wenn sie zu verschiedenen Stufen gehören oder in ihrer gemeinsamen Stufe verschiedene Werte haben.)

A1=A2 :<-> t(A1)=t(A2) und W(A1, t(A1)) = W(A2, t(A1))

W(A1=A2,t) = w für t > t(A1)
W(A1=A2,t) = u für t >= t(A1)

Jetzt ist klar: W(X=U,t) = -w für t > t(X) wenn t(X)>0.
Und W(U=U,1) = w.

Jetzt mache ich erst einmal Urlaub.

Gruß
Trestone