Nach etwas Nachdenken ist mir ne allgemeine Lösungsmöglichkeit (mittels Integration) für das Problem eingefallen. Ich versuche mal, diese wiederzugeben:
Wir haben ein Fünfeck mit P1=[15|0]; P2=[90|25], P3=[90,65], P4=[55|90], P5=[0|75]
Zuerst kuckst du, welcher Punkt am meisten links in der Ebene liegt, also die kleinste X-Koordinate hat. In deinem Beispiel ist das P5. Dann überlegen wir uns, welcher Punkt am weitesten rechts in der Ebene liegt, also die größte X-Koordinate hat. In unserem fall sind das P2 und P3, wobei P3 eine größere Y-Koordinate hat.
Als nächstes verbinden wir die beiden (oder eben drei, manchmal auch vier) Eckpunkte, und zwar entlang der Linien des n-Ecks, in unserem Fall also einmal
P5-P4-P3 (diese Linie beschreibt den oberen Weg)
und
P5-P2 (diese Linie beschreibt den unteren Weg)
Die Verbindung P2-P3 ist in unserem Fall nicht wichtig.
Der nächste Schritt besteht nun darin, für diese beiden Verbindungslinien je eine Funktion, die diese beschreibt, zu finden. Das geht natürlich einfach über zusammengesetzte Funktionen.
Beginnen wir mit der Funktion für den oberen Weg (im folgenden o(x) genannt). Diese teilt sich auf in zwei Teilfunktionen, einmal für die Strecke P1-P4 (o1(x) im folgenden) und P4-P3 (o2(x) im folgenden)
o1(x) ist damit (x(pn) und y(pn) bezeichnen die x- bzw. y-Koordinaten der beiden Punkte):
o1(x)=(y(p4)-y(p5))/(x(p4)-x(p5)) * x + x(p5) für
o1(x)=(90-75)/(55-0)*x+0
o1(x)=3/11*x
und o2(x):
o2(x)=(y(p3)-y(p4))/(x(p3)-x(p4)) * x + x(p3)
o2(x)=(65-90)/(90-55) * x + 55
o2(x)=-5/7*x+55
Analog ergibt sich für die Funktion des unteren Wegs u(x):
u(x)=(y(p1)-y(p5))/(x(p1)-x(p5)) * x + x(p5)
u(x)=(0-75)/(15-0) * x + 0
u(x)=-5x
Bis jetzt noch mitgekommen? Gut, das war der einfache Teil
. Jetzt wird nämlich integriert...
Der Trick ist nämlich jetzt einfach, die Fläche unter der oberen Linie zu berechnen, die ja genau die Fläche des Fünfecks plus die Fläche des Bereichs zwischen Fünfeck und x-Achse ist, und dann davon die Fläche unter der unteren Linie, die ja genau die Fläche zwischen Fünfeck und x-Achse ist, abzuziehen. Damit erhält man dann die Fünfecksfläche.
Also (Edit: Die Fragezeichen sind Integralzeichen, blödes Opera):
A=?o(x)dx - ?u(x)dx, beide Integrale natürlich im Bereich des Fünfecks, also von x(p5) nach x(p2) bzw. x(p3). Für das Integral von o(x) erhalten wir:
?o(x)dx = ?o1(x)dx + ?o2(x)dx, natürlich wieder in den entsprechenden Geltungsbereichen. Und weiter:
?o(x)dx=?(3/11*x)dx+?(-5/7*x+55)dx
?o(x)dx=[3/22*x²] + [-5/14*x²+55x], beides in den Geltungsbereichen.
Also:
?o(x)dx=3/22*x(p4)²-3/22*x(p5)² - 5/14*x(p3)²-55*x(p3) + 5/14*x(p4)^2 + 55*x(p4)
?o(x)dx=...
Das selbe für das untere Integral und du bist fertig.
Also Zusammenfassung:
- Wege bestimmen
- Wegfunktionen bestimmen
- Integrale ausrechnen
- Integrale voneinander abziehen
- Fertig
Eigentlich doch vergleichsweise einfach dafür, dass du den Flächeninhalt jedes beliebigen n-Ecks damit bestimmen kannst...
