Um den konkreten Nutzen meiner Stufenlogik (und Meta-Mengenlehre) darzustellen, will ich sie noch einmal genauer darstellen
(z.T. Auszug aus früherer Zusammenstellung von mir, daher mit Wiederholungen):
0) Die Russellmenge R als Motivation:
R = {x : x -e x} bzw. x e R <-> x -e x.
Für x=R erhält man den Widerspruch R e R <-> R -e R.
(Dabei steht "e" für "Element von" und "-e" für "nicht Element von")
In den gängigen Mengenlehren wird R daher nicht als Menge zugelassen.
Denn bei Widerspruch zwischen Mengenlehre und Logik gibt man der Logik den Vorrang.
Umgekehrt kann man sich aber auch fragen, wie man eine Mengenlehre (und Logik) gestalten muss, in der R eine zulässige Menge ist?
Eine Möglichkeit soll im Folgenden beschrieben werden,
wobei sich zeigen wird, dass in dieser Mengenlehre auch grundlegende Sätze von Cantor und (vielleicht) Gödel nicht mehr gelten.
Meine Grundidee ist, dass sich im Widerspruch "R e R <-> R -e R" die beiden vorkommenden Elementzeichen links und rechts auf verschiedenes beziehen.
Genauer stelle ich mir vor, dass Mengen unterschiedliche Eigenschaften (Elemente) in verschiedenen Stufen besitzen und man zum Elementzeichen jeweils die Stufe angeben muss, auf das es sich bezieht.
Für die so abgeleitete Russellmenge R gilt dann: x e(t+1) R <-> x -e(t) x.
In Worten: x liegt zu Stufe t+1 in R genau wenn x sich zur Stufe t nicht selbst enthält.
(Genaugenommen ist dies eine andere Menge R als die obige, aber wir bewegen uns ja jetzt auch in einer anderen Mengenlehre, der Stufenmengenlehre bzw. Metamengenlehre.)
Für R gilt dann: R e(t+1) R <-> R e(t) R .
Nach Stufen abwechselnd liegt also R in sich oder nicht.
Setzt man noch, dass in Stufe 0 alle Mengen leer sind, so sieht man,
dass R für ungerade t in R liegt, für gerade aber nicht.
Der Widerspruch wurde sozusagen durch die zusätzliche Dimension der Stufen aufgefangen.
Mengen selbst sind hier dimensionslose Gebilde, die je nach Stufe unterschiedliche Elemente und Eigenschaften besitzen können.
1) Aufbau der Metamengenlehre:
Gesteht man Mengen unterschiedliche Eigenschaften (Elemente) in unendlich vielen Stufen zu, so würde dies für uns (zumindest teilweise) endliche Wesen schnell zum Problem, da wir für Mengen meist nicht alle Eigenschaften aller Stufen bestimmen könnten.
Daher wird wie bei der Russellmenge R gefordert, dass zwischen Stufe t+1 und Stufe t ein für alle t gleicher Bezug besteht, eine Art Induktionsübergang.
Diese Beziehung zwischen Eigenschaften verschiedener Stufen ist ein Kernstück dieser Theorie und ermöglicht es, die Metaebenen "einzufangen".
So kann man z.B. All, die Menge aller Mengen, konstruieren und zeigen, dass sie via Identität in Bijektion zu ihrer Potenzmenge steht (s.u. bei "Bsp. zu Mengenlehre").
Die beim Cantorschen Gegenbeweis konstruierte Menge ergibt sich dabei als unsere (widerspruchslose) Russellmenge R.
Die Konstruktion der natürlichen Zahlen ist etwas mühsamer, da der induktive Ansatz keine endlichen Mengen liefert.
Hier habe ich aufgenommen, dass Mengen auch durch explizite Angabe ihrer Elemente in Stufe 1 definiert werden können (wenn sie in allen Stufen gleiche Elemente haben) und diese (endlich vielen?) Elemente schon definiert sind.
Die Untersuchungen zur Arithmetik sind noch nicht abgeschlossen, aber ich hoffe, dass auch der Gödelsche Unvollständigkeitssatz in der Metamengenlehre nicht mehr gültig ist.
2) Ausblick auf Logik:
Analog lässt sich der Wahrheitswert in der Aussagenlogik als (z.T.) stufenabhängig definieren.
Dann zeigt sich die Lügnerantinomie ("Dieser Satz ist nicht wahr") analog zur Russellmenge als abwechselnd falsch und wahr, je nach Stufe.
Interessant: Als Startpunkt wählt man hier, dass in Stufe 0 alle Aussagen
falsch und wahr zugleich sind (aber nur dort).
In der Logik scheint man dabei zwischen zwei Arten von Aussagen unterscheiden zu müssen:
Gewöhnlichen Aussagen, die je nach Stufe wahr oder falsch sind und
Metaaussagen (z.B. Aussagen über alle Stufen) wie die meisten Logikaxiome, die scheinbar absolut wahr oder falsch sind.
Z.B. ist die Gleichheit von Stufenaussagen (oder Mengen) eine Metaaussage.
Bei genauerer Betrachtung zeigt sich aber, dass man auch die Metaaussagen als Stufenaussagen betrachten kann.
3) Für Interessierte noch einige Axiome und Formeln (noch unvollständig):
3.1) Vorbemerkung zur Notation:
V steht für "für alle"
E steht für "es existiert mindestens ein"
<-> steht für "genau dann wenn"
e(t) steht für "ist zur Stufe t Element von"
-e(t) steht für "ist zur Stufe t nicht Element von"
=(t) steht für "ist zur Stufe t gleich"
= steht für "ist gleich" (für alle Stufen)
I) Mengenlehre Grundidee:
Mengen sind dimensionslose Dinge "an sich", ihre Eigenschaften (wie Gleichheit und Elementbeziehungen) erschließen sich uns nur stufenweise und können je Stufe unterschiedlich sein. Es bestehen aber Verbindungen zwischen den Stufen.
Nicht alle Eigenschaften einer Stufe können in dieser Stufe beschrieben werden, meist ist dazu die nächste Stufe (Metastufe, aber anders gemeint als unten bei Logik) nötig.
Gerade die charakteristischen Eigenschaften einer Stufe t (x e(t) M) ist in Stufe t nicht entscheidbar sondern erst in Stufe t+1.
0. Stufenmengen-Meta-Axiom:
Es gibt (in der Metaebene) eine Stufenmenge T,
die induktiv ist, d.h. sie enthält 0 und zu jedem Element t auch den Nachfolger t+1. (T entspricht No mit Addition).
(Evtl. könnte man T selbst auch via e(t) stufenweise einführen, aber das
sei zunächst nicht betrachtet...)
Im folgenden sei stets t aus T, x,y,z,a,b Mengen
A(t,y),F(t,y) Funktionen bzw. Terme mit festem t.
1. Extensionalitäts-Axiom:
Vt: "x: [(x e(t) y) <-> (x e(t) z)] <-> (y =(t) z)
D.h zwei Mengen sind zur Stufe t gleich, wenn sie zur Stufe t gleiche Elemente haben.
Zwei Mengen x,y sind gleich (x=y), wenn sie zu allen Stufen gleich sind.
(Meist Nachweis über Induktion nach t).
(Diese Axiom ist eine Metaaussage, z.B für Stufe d=1 wahr).
2. Nullstufen-Axiom:
Vx: Vy: x -e(0) y
D.h. zur Stufe Null sind alle Mengen leer.
(Diese Axiom ist eine Metaaussage).
3. Existenz-Axiom:
Vt: Ey: Vx: ( x e(t+1) y <-> A(t,x) )
Andere Darstellung: Vt: y =(t+1) {x: A(t,x)}
D.h. ist A(t,x) ein (mengenlogischer) Term der Stufe t
(z.B. (x e(t) x) v (x =(t) x)) so gibt es eine Menge y, die für alle Stufen diesen Term (in t+1) erfüllt.
(Diese Axiom ist eine Metaaussage).
„(Mengenlogischer) Term der Stufe t“ sollte genauer erklärt werden:
3.1 „0“ ist ein Term beliebiger Stufe (Konstante, Leere Menge)
3.2 „x“ ist ein Term beliebiger Stufe (Identität)
3.3 Sind „a“ und „b“ Terme der Stufe t, dann auch „-a“, „avb“, „a^b“,
„a->b“, „a<->b“, „Ex: a(x)“, „Vx: a(x)“
3.4 Sind v,w Mengen ist „v e(t) w“ und „v =(t) w“ ein Term der Stufe t
3.5 ACHTUNG: Sind a,b Terme der Stufe t, dann auch „Vd<t+1: a(d)(x)“ und „Ed<t+1: a(d)(x)“ aber meist NICHT „Vt: a(t)(x)“ oder „Et: a(t)(x)“
(Letztere sind „Metakonkretisierungen“ s.u., ähneln Ordinalzahlstufen-Konkretisierungen.)
Die mittels 3.1 – 3.5 bildbaren Terme von x sind die „mengenbildenden Terme“.
Lemma 1: Es gibt die leere Menge „0“ und die volle Menge „ALL“.
Wähle in Axiom 3 A(t,x) gleich „x -=(t) x“ bzw. gleich „x =(t) x“ #
Lemma 2: Zur Stufe 0 sind alle Mengen gleich.
Insbesondere gilt: „ALL =(0) 0“
Betrachte Axiom 1 und Axiom 2, sowie Lemma 1. #
Lemma 3: Es gibt die RUSSELL-Menge R mit Vt:[x e(t+1) R] « [ x -e(t) x ]
Axiom 3 mit A(t,x) gleich x -e(t) x. x -e(0) x stets wahr, also R -e(0) R, also R e(1) R. Allgemein „R e(2t) R“ ist falsch, „R e(2t+1) R“ ist wahr.
Bsp zur Mengenlehre: Mächtigkeit der Potenzmenge anders als bei Cantor:
(Evtl. noch mit dem einen oder anderen "Stufenfehler" bzgl. t, t+1 in den Beweisen...)
Als Potenzmenge P(M) bezeichnet man bei Cantor die Menge aller Teilmengen von M, d.h. die Mengen in P(M) haben als Elemente nur M-Elemente.
Analog ist bei mir eine Menge x in Stufe t+1 genau dann Element der Potenzmenge P(M), wenn x in Stufe t Teilmenge von M ist, d.h. alle Elemente der Stufe t von x müssen auch Elemente der Stufe t von M sein.
In Zeichen: x e(t+1) P(M) :<-> Vy: y e(t) x -> y e(t) M
Man sieht: Es gilt stets 0 e(t+1) P(M) und M e(t+1) P(M).
Nun betrachten wir den berühmten Cantorschen Beweis, dass zu einer Menge und ihrer Potenzmenge keine Bijektion existieren kann.
Cantor nimmt dazu an, es gebe eine solche Bijektion f: M -> P(M) und betrachtet die damit konstruierte Menge A(f):= {x e M: x -e f(x)}.
A(f) ist eine Teilmenge von M, nach Annahme gibt es also dazu ein Urbild in M, das von f auf A(f) abgebildet wird. Sei dieses Urbild m.
Es gilt also f(m) = A(f).
Wir untersuchen nun, ob m in f(m) liegt:
1. Fall: m e f(m) -> (wg. f(m)=A(f)): m e A(f) -> m -e f(m). Widerspruch!
2. Fall: m -e f(m) -> (wg. Def. von A(f)): m e A(f) -> m e f(m) Widerspruch!
In der Stufenmengenlehre macht die Menge A(f) weniger Probleme:
Nehmen wir an, es gäbe eine Bijektion f: M in Stufe t+1 -> P(M) in Stufe t+1
(Dabei beschränken wir uns auf eine bel. Stufe t)
Setze x e(t+1) A(f) :<-> x -e(t) f(x) und x e(t) M
A(f) ist wieder eine Menge, deren t+1-Elemente nur t-Elemente von M sind.
(Beachte: Nach Stufengrundaxiom sind t-Elemente erst in Stufe t+1 bekannt, A(f) ist also nicht mit obiger Definition in Stufe t definierbar.)
Angenommen, A(f) hat ein Urbild m mit f(m) = Stufe t+1: A(f).
1.Fall m e(t+1) f(m) -> m e(t+1) A(f) -> m -e(t) f(m) (kein Widerspruch)
2.Fall: m -e(t+1) f(m) -> m -e(t+1) A(f) -> m e(t) f(m) (kein Widerspruch).
Zumindest mit diesem A(f) greift also Cantors Beweis nicht mehr.
Nun noch ein positives Beispiel:
Setze M=All und f = Identität.
Zu Stufe t+1 ist x e(t+1) P(ALL) :<-> Vy: y e(t) x -> y e(t) ALL
Behauptung: x e(t+1) All <-> Vy: y e(t) x -> y e(t) ALL,
d.h. P(ALL) = ALL. f: x->(t+1) x
x e(t+1) A(f) <-> x -e(t) f(x) <-> x -e(t) x
A(f) ist also die oben schon bei Stufentheorie als unproblematisch erkannte Russellmenge.
(Übrigens ist die ALL-Menge in allen stufen größer 0 gleich.)
Natürliche Zahlen:
Nachfolgemenge: x e(t+1) m´ :<->( x e(t) m ) v ( x = m )
(Interessant: x=m ist eine Metaeigenschaft, z.B. für Stufe d=1 wahr)
Offene Fragen:
1. Lässt sich innerhalb der Stufenmengenlehre eine Arithmetik definieren?
2. Wie steht es ggf. bei dieser Arithmetik um den Gödelschen Unvollständigkeitssatz?
II) LOGIK: Grundidee:
Aussagen A sind eigenschaftslose „Dinge an sich“, erst Konkretisierungen in einer Stufe t haben Eigenschaften wie z.B. „wahr“, „falsch“, „logisch gleich“. (Konkretisierungen sind selbst keine Aussagen!)
Sei „A“ eine Aussage und „A:t“ die Einschränkung bzw. Konkretisierung von A zur Stufe t.
Z.B. sei A gleich „x e x“ . Dann ist (A:t) gleich (x e(t) x) und somit wahr oder falsch zur Stufe t.
Wahrheitswertmenge von A ist W(A) und es gilt: W(A) =(t+1) {z: (A:t)} (Beachte: z kommt in A:t nicht vor, daher W(A) voll oder leer)
Es gilt: A wahr zu t+1 <-> W(A) =(t+1) All (All= Allmenge = {z: x =(t) x})
A falsch zu t+1 <-> W(A) =(t+1) 0 (0 = Leere Menge = {z: x ¹(t) x})
Regeln: W(-A) = All – W(A) = - W(A); W(--A) = - W(-A) = -- W(A) = W(A).
Dazu gibt es noch Metaaussagen, die auch je Stufe wahr oder falsch sein können, aber oft jeweils für alle Stufen gleich. Metaaussagen sind z. B. Aussagen über alle Stufen oder Aussagen über Metaaussagen oder Wahrheitswerte.
Z.B.: "A wahr in Stufe 1" ist Stufenaussage , ""A wahr in Stufe 1" ist wahr" ist Metaaussage.
Satz 1: Zur Stufe 0 sind alle Konkretisierungen (der Stufe 0) wahr und falsch zugleich.
Definition: Wohldefinierte Aussagen sind solche, bei denen zur Bestimmung des Wahrheitswert einer Konkretisierung in Stufe t+1 nur Konkretisierungen kleinerer Stufen ausgewertet werden müssen.
Satz 2: Zur Stufe t>0 sind alle Konkretisierungen von (wohldefinierten) Aussagen der Stufe t entweder wahr oder falsch.
Es gilt entweder „W(A) =(t+1) ALL“ oder „W(A) =(t+1) 0“.
Elementarbeziehungen wie „x =(t)x“ sind nicht nur t-wahr sondern wahr.
Lemma: Zur Stufe 0 sind alle Aussagen gleich
Idee: Satz 1 (mit Lemmas) könnte der Schlüssel für Ausweg aus Begründungstrilemma sein, denn jetzt bricht jede Begründung bei Stufe 0 ab ohne die Wahrheit bestimmter Sätze zu fordern (sie sind ja alle wahr bzw. zugleich falsch).
Induktion mit strukturell garantierter Verankerung...
Sei L die Aussage „dieser Satz ist falsch“.
Dann ist L:t die Aussage „dieser Satz ist zu Stufe t falsch“.
Beh.: Für gerade t ist L falsch, für ungerade wahr.
Zu t=0 ist L:0 wahr und falsch. W(L) =(t+1) {z: (L:t)}
W(L) =(0+1) {z : (L:0)} =(1) {z : `L ist zur Stufe 0 falsch’} =(1) ALL
W(L) =(1+1) {z : (L:1)} =(2) {z : `L ist zur Stufe 1 falsch’} =(2) 0
usw.
Die Grund-Antinomie läßt sich also auflösen.
(Die scheinbare Metaaussage M:= "dieser Satz M ist für alle Stufen (und Metastufen) falsch" ist nicht auflösbar: Ann.: W(M,t)=-w -> W(M,d)=w -> W(M,d)=-w (d>0)
Ann: W(M,t)= w -> W(M,t)= -w. (t>0)
Ursache: M sagt etwas über die eigene Stufe aus, was in dieser nicht bekannt ist.
Gleichheitsaxiom: Zwei Aussagen A1 und A2 sind (logisch) gleich (A1=A2), wenn sie für alle Stufen t gleiche Wahrheitswerte annehmen.
(Logische Gleichheit ist eine Metaaussage, es gilt
W(A1=A2),t+1)=w :<-> W("d: W(A1,d)=W(A2,d),t)=w (t>0)
In der Physik kann ich mir vorstellen, dass man je Messung die Metastufe wechselt.
Gruß
Trestone
