Trestone
Großmeister
- Registriert
- 12. April 2002
- Beiträge
- 887
Hallo,
bei der Suche nach Begründungen der Logik wurde ich nicht so recht fündig.
Zudem gibt es im Umfeld der Logik Brüche und Schwachstellen (z.B. Paradoxien, Cantors Diagonalverfahren, Gödelscher Unvollständigkeitssatz), die mich nach Alternativen zur Logik suchen ließen.
Wie müsste nun eine Logik aussehen, in der z.B. "Diese Satz ist nicht wahr" eine ganz normale Aussage und nicht paradox ist?
Als ein Ausweg erschien mir, bei allen Aussagen eine Stufe (Metastufe) mitanzugeben und die Regel anzunehmen, dass Eigenschaften einer Stufe (wie z.B. in Stufe t wahr zu sein) erst in höheren Stufen erkennbar wären.
(Dies erinnert an die Russellsche Typenhierarchie aus der Mengenlehre, nur bezieht es sich auf die Eigenschaften und nicht auf die Objekte.)
Dieses Metastufenaxiom ist natürlich genauso willkürlich wie die Axiome der gängigen Logik.
Um Paradoxiefreiheit zu erreichen, kann man nun fordern, dass Eigenschaften der Stufe t+1 sich nur aus Eigenschaften von Stufe t oder kleiner ableiten lassen sollen.
(In Stufe 1 kann man als Start alle außerlogisch wahren Sätze zulassen und diese auf alle größeren t ausdehnen.)
Echt stufenlogisch neuer Satz:
Z.B. L wahr in Stufe t+1 :<-> L nicht wahr in Stufe t.
Setzt man noch L wahr in Stufe 1, so hat man in L eine Aussage, die für gerade t nicht wahr und für ungerade t wahr ist.
(L ist "fast" die paradoxe Aussage von oben, sie hat je Stufe t eine der eigenschaften "wahr" bzw. "nicht wahr")
Aus Symmetriegründen fordere ich noch: In Stufe 0 sind alle Aussagen wahr und nicht wahr zugleich.
Behauptung: In allen Stufen größer 0 sind alle Aussagen entweder wahr oder nicht wahr.
Aufbauend auf dieser "Stufenlogik" lässt sich nun leicht auch eine Mengenlehre einführen:
x zur Stufe t+1 in M enthalten: <-> x hat Eigenschaft E zur Stufe t
(in Zeichen: x e(t+1) M)
Z.B. Russellmenge R: x e(t+1) R : <-> x -e(t) x
(Zur Stufe 0 sind alle Mengen leer -> R e(t) R gilt genau für ungerade t).
Zur Konstruktion endlicher Mengen und der natürlichen Zahlen benötige ich noch einen weiteren Typ von Aussagen bzw. Eigenschaften:
Zwei Aussagen sind nach Stufenlogik logisch gleich, "wenn sie für alle Stufen den gleichen Wahrheitswert haben".
Zu welcher Stufe gehört nun diese Metaaussage über alle Stufen?
Nun einfach zur neuen Metastufe 1 (aber hier Zweifel erwünscht...).
Für natürliche Zahlen benötige ich nur den Fall gleicher Mengen zu schon definierten Mengen n:
x e(t+1) n+1 := x e(t) n oder x=n
(wobei x=n hier bedeutet, dass x in allen Stufen gleiche Elemente wie das schon definierte n hat. 0 := leere Menge (in allen Stufen))
Offen ist noch, ob die so angedeutete Mengenlehre zu einer vollen Arithmetik erweiterbar ist, ohne dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz zu unterliegen.
Generell denke ich, dass alle Widerspruchsbeweise in meiner Stufenlogik nicht mehr zwingend sind und meist eine Ebenenverletzung beinhalten.
Die "stufenübergreifende" Gleichheit sehe ich als potentiell systemsprengend und daher am spannensten!
bei der Suche nach Begründungen der Logik wurde ich nicht so recht fündig.
Zudem gibt es im Umfeld der Logik Brüche und Schwachstellen (z.B. Paradoxien, Cantors Diagonalverfahren, Gödelscher Unvollständigkeitssatz), die mich nach Alternativen zur Logik suchen ließen.
Wie müsste nun eine Logik aussehen, in der z.B. "Diese Satz ist nicht wahr" eine ganz normale Aussage und nicht paradox ist?
Als ein Ausweg erschien mir, bei allen Aussagen eine Stufe (Metastufe) mitanzugeben und die Regel anzunehmen, dass Eigenschaften einer Stufe (wie z.B. in Stufe t wahr zu sein) erst in höheren Stufen erkennbar wären.
(Dies erinnert an die Russellsche Typenhierarchie aus der Mengenlehre, nur bezieht es sich auf die Eigenschaften und nicht auf die Objekte.)
Dieses Metastufenaxiom ist natürlich genauso willkürlich wie die Axiome der gängigen Logik.
Um Paradoxiefreiheit zu erreichen, kann man nun fordern, dass Eigenschaften der Stufe t+1 sich nur aus Eigenschaften von Stufe t oder kleiner ableiten lassen sollen.
(In Stufe 1 kann man als Start alle außerlogisch wahren Sätze zulassen und diese auf alle größeren t ausdehnen.)
Echt stufenlogisch neuer Satz:
Z.B. L wahr in Stufe t+1 :<-> L nicht wahr in Stufe t.
Setzt man noch L wahr in Stufe 1, so hat man in L eine Aussage, die für gerade t nicht wahr und für ungerade t wahr ist.
(L ist "fast" die paradoxe Aussage von oben, sie hat je Stufe t eine der eigenschaften "wahr" bzw. "nicht wahr")
Aus Symmetriegründen fordere ich noch: In Stufe 0 sind alle Aussagen wahr und nicht wahr zugleich.
Behauptung: In allen Stufen größer 0 sind alle Aussagen entweder wahr oder nicht wahr.
Aufbauend auf dieser "Stufenlogik" lässt sich nun leicht auch eine Mengenlehre einführen:
x zur Stufe t+1 in M enthalten: <-> x hat Eigenschaft E zur Stufe t
(in Zeichen: x e(t+1) M)
Z.B. Russellmenge R: x e(t+1) R : <-> x -e(t) x
(Zur Stufe 0 sind alle Mengen leer -> R e(t) R gilt genau für ungerade t).
Zur Konstruktion endlicher Mengen und der natürlichen Zahlen benötige ich noch einen weiteren Typ von Aussagen bzw. Eigenschaften:
Zwei Aussagen sind nach Stufenlogik logisch gleich, "wenn sie für alle Stufen den gleichen Wahrheitswert haben".
Zu welcher Stufe gehört nun diese Metaaussage über alle Stufen?
Nun einfach zur neuen Metastufe 1 (aber hier Zweifel erwünscht...).
Für natürliche Zahlen benötige ich nur den Fall gleicher Mengen zu schon definierten Mengen n:
x e(t+1) n+1 := x e(t) n oder x=n
(wobei x=n hier bedeutet, dass x in allen Stufen gleiche Elemente wie das schon definierte n hat. 0 := leere Menge (in allen Stufen))
Offen ist noch, ob die so angedeutete Mengenlehre zu einer vollen Arithmetik erweiterbar ist, ohne dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz zu unterliegen.
Generell denke ich, dass alle Widerspruchsbeweise in meiner Stufenlogik nicht mehr zwingend sind und meist eine Ebenenverletzung beinhalten.
Die "stufenübergreifende" Gleichheit sehe ich als potentiell systemsprengend und daher am spannensten!