All-Aussagen: Selbstbezug und Widerspr. - neue Logik nötig?

Trestone

Großmeister
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Hallo,

im Zuge meiner Hobbyforschungen zur Logik und Mengenlehre bin ich auf folgende (nicht ganz neue) Problematik gestoßen:

Will ich die Metaregeln einer neuen Aussagenlogik formulieren, so verfalle ich schnell auf All-Aussagen über alle "Aussagen".
Nun hätte ich gern, dass die neue Logik auch auf der Metaebene anwendbar ist.
Dadurch sind diese Axiome aber selbstanwendbar und natürlich widerspruchsgefährdet.

Mir ist klar, dass der Gödelsche Unvollständigkeitssatz für klassische Logik erweitert um Axiome für Mathematik der natürlichen Zahlen inkl. Multiplikation die Unmöglichkeit des Selbstbeweises der Widerspruchsfreiheit gezeigt hat.

Andererseits macht das gerade alternative Logiken für mich so spannend:
Mit anderer Logik muss das nicht unbedingt gelten!

Aber zurück zu den Meta-Allaussagen:

Z.B.A1: "Alle Aussagen sind entweder wahr oder falsch"
A2: "Alle All-Aussagen sind widerspruchsgefährdet"
A3: "Alle Aussagen sind nur bisher wahr oder falsch"
A4: "Die Wahrheit von allen Aussagen A kann sich dynamisch (mit uns) ändern,
z.B. bei unserem Nachdenken über sie - symbolisch erfassbar
durch z.B. einen Metastufenzähler t"

Mein Logikversuch orientiert sich an A4, aber die Selbstanwendung von A4 gefällt mir noch nicht.
Ist W(A,t) der Wahrheitswert von A in Stufe t, so wäre auch W(A4, d) für beliebige Stufen d zu bestimmen.
Auch die Axiome so zu dynamisieren gefällt mir nicht ...

Ein neuer Ansatz ist, statt "ewiger" Axiome zu formulieren: "Bisher gilt/galt ..."
Vielleicht ist die Zukunft ja auch in der Logik offen? Andererseits ist ein Ziel ja, vorherzuwissen...

Mal sehen, ob wir darüber diskutieren können (ruhig noch in klassischer Logik...)
 

Choronzon

Erleuchteter
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:? Klingt interessant,aber du solltest "präzisieren",Trestone.
Auxiome sind "wiederspruch gefährdet?"..hallo?Sorry .Ein sehr alter Hut..
Was bist du?Ein Student ?Wenn ja ,von was?
 

Qrt

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Klingt nach Philosophie im ersten Semester .

Logik .


gruss
 

Trestone

Großmeister
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Also ein bischen konkreter (aber mehr mathematisch und weniger philosophisch):

Nehmen wir folgendes an:

METALOGIK a la Trestone:

A0: Es gibt eine Metastufenmenge T mit Nachfolgerfunktion,
0,1,2, ... , t, t+1, ...
(als T können wir uns die natürlichen Zahlen (noch ohne Multiplikation) vorstellen.)

A1: Um den Wahrheitswert einer Aussage A festlegen zu können, muss sie einer Metastufe t zugeordnet werden. Aussagen über diesen Wahrheitswert gehören dann mind. zu Stufe t+1.

A2: In Stufe 0 (und nur dort) sind alle Aussagen wahr und falsch zugleich.

Behauptung: Definiert man (Meta-)Aussagen in Stufe t+1 nur mit Bezug auf niedrigere Metastufen, so sind die Wahrheitswerte so definierter Aussagen in t+1 widerspruchsfrei (also nicht zugleich wahr und falsch).

Das berühmte Lügnerparadoxon "L:= diese Aussage L ist falsch" lässt sich in Metalogik schön wie folgt analysieren:
L in t+1 wahr := L in t falsch.
Da L in Stufe 0 falsch (und wahr) ist wg. A2, ist L in 1 wahr, in 2 falsch, in 3 wahr usw.

Spannend wird es bei t-All-Aussagen: "L in t+1 wahr:= L für alle t falsch" ist wieder paradox.

Immerhin kann man in der Metalogik eine Klasse widerspruchsfreier Aussagen abtrennen. Schon wäre nun, wenn die Axiome dazugehören würden. Das ist für A1 (und evtl. A0) schwierig, wenn man sie in Metalogik formulieren würde.

Übrigens sollte man Definitionen von Aussagen über Wahrheitswerte höherer Stufen nicht ganz ausschließen, da es ja viele harmlose Aussagen gibt, die für alle t wahr sind (z.B. A=A in jeder Stufe t).

Man könnte rekursiv/induktiv vorgehen: zur Definition einer (widerspruchsfreien) Aussage in Stufe t+1 sind a) alle Aussagen/Werte der Stufen 0,1,...,t erlaubt und b) alle schon als widerspruchsfrei definierten Aussagen beliebiger Stufe (bzw. beliebige Aussagen der Stufe 0)

Die Startaxiome bekommen wir so aber glaube ich noch nicht ...


P.S. Übrigens ist der Tipp Philosophiestudent und 1. Semester nicht falsch, nur ist das ganze (wie auch mein Mathe/Informatikstudium) schon ein paar Jährchen her...
 

hives

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Hi Trestone,
mich erinnert das an einen ähnlichen Thread von dir:


http://www.weltverschwoerung.org/modules.php?name=Forums&file=viewtopic&t=10175


Und ein Teil meiner dortigen Antwort passt sogar hier :D :

Die Folgerichtigkeit der obigen vierdimensionalen Logik will mir nicht einleuchten, da offenbar als einziger Operator das immer gleich bleibende Negieren der Aussage von t1 in t2, der von t2 in t3 etc. benutzt wird.
Die Analogie bleibt somit auf die Änderung der Wahrheit zu undefinierten Zeitpunken beschränkt - das ist jedoch sicher nicht universal anwendbar, bedarf es also nicht weiterer Einschränkungen?


Mir ist das jedenfalls immer noch zu unscharf bzw. interpretationsbedürftig - inspirierend auf der einen Seite sicherlich, aber nicht konsistent genug, um es bspw. als logisches Metasystem zu behandeln.


Wenig überzeugend, bzw. ziemlich willkürlich finde ich auch zb. das Folgende:
Übrigens sollte man Definitionen von Aussagen über Wahrheitswerte höherer Stufen nicht ganz ausschließen, da es ja viele harmlose Aussagen gibt, die für alle t wahr sind (z.B. A=A in jeder Stufe t).

:gruebel:



mfg
hives *aufdienächsteversionwartend*
 

Trestone

Großmeister
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Hallo hives,

der von dir zitierte thread trifft zwar, allerdings ist inzwischen der von Dir zitierte Punkt mit den "höherstufigen Aussagen" dazugekommen.
Außerdem interessiert mich hier mehr der Meta-Rahmen meiner Theorie,
da ich - wenn schon -denn schon - konsequent eine Metalogik benutzen möchte.
Allerdings haben mich jüngst Zweifel beschlichen, ob "wahr" und "falsch" geeignete Eigenschaften für meta-t-sierung sind und ich meine positiven erfahrungen aus der Mengenlehre (mit der t-abhängigen Elementeigenschaft) so einfach übertragen kann.
 

Trestone

Großmeister
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Hallo Hives,

nochmal zu Deinem Zitat:
Die Folgerichtigkeit der obigen vierdimensionalen Logik will mir nicht einleuchten, da offenbar als einziger Operator das immer gleich bleibende Negieren der Aussage von t1 in t2, der von t2 in t3 etc. benutzt wird.
Die Analogie bleibt somit auf die Änderung der Wahrheit zu undefinierten Zeitpunken beschränkt - das ist jedoch sicher nicht universal anwendbar, bedarf es also nicht weiterer Einschränkungen?

Das Negieren im Lügnerbeispiel liegt an der Konstruktion der Lüge L, positive Konstrukte sind genauso möglich:
Z.B. "A wahr in t+1 := A wahr in t". (entspricht etwa der Aussage: "Diese Aussage A ist wahr")

Was wir uns unter den Stufen t vorstellen sollen, weiß ich selbst nicht so recht.
Neben einem zeitlichen Ablauf (dann aber Zeittakte) erscheinen mir auch Denkstufen oder Metaebenen hilfreich. Das wird auch meiner Grundidee, dass Eigenschaften nicht konstant sein können, da sich ja unser Bewußtsein ständig wandelt, am besten gerecht.

Schwierig wird das mit meinem neuen Ansatz zu vereinbaren, dass Eigenschaften (wie Wahrheit von Aussagen) zu einer Stufe t+1 auch von (anderen) Eigenschaften beliebiger Stufe abhängen können.
Aber anschauliche Interpretationen zu Theorien pflegen ja oft erst nachträglich gefunden zu werden...
 

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