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Stufenlogik - eine denkbare Alternative? (nun vollständig)
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BeitragVerfasst am: Di Mai 29, 2012 6:52 pm


Zusatz zu meinen Ausführungen zur Logik des Bewußtseins:

Vielleicht ist es jemandem aufgefallen, dass ich an keiner Stelle den Begriff der Aussage verwende. Bis dato verwende ich den Begriff nicht als grundlegende Kategorie. Ich behandele Aussagen und mit ihnen die gesamten Bereich der Logik als abgeleitete Begriffe.

In meinen Ausführungen kommt der Begriff der Repräsentierung vor, der ziemlich genau mit der Idee der Menge in der Mathematik übereinstimmt, da durch eine Menge alle Objekte repräsentiert werden können. Und es kommt der Begriff des Operierens an einem Objekt vor. Dieser Begriff ist in der Mathematik etwas unterrepräsentiert, die Mengenlehre kennt keine funktionalen Beziehungen, d.h. soetwas wie man von der Betrachtung eines Objekts zum nächsten kommt. Dies leistet die Theorie der Rekursion oder die der Turingmaschinen, wobei diese wieder auf die Mengenlehre zurückgeführt werden. Stellt man die arithmetischen Operationen in der Mengenlehre da, ergeben sich Paarungen von Elementen von Natürlichen Zahlen, die vollkommen willkürlich sind, obwohl die Reihe der arithmetischen Operationen alles andere als willkürlich ist.

Der Grund warum ich bis dato dem Begriff der Aussage im logischen Denken keinen fundamentalen Platz zuweise, ist der, dass ich die Logik immer als eine Form der Arithmetik verstanden habe. Es sind Zeichenketten, die durch spezielle arithmetische Umformungen zu neuen Zeichenketten werden. Dass man diesen Zeichenketten nun so etwas wie Wahrheitswerte zuordnet ist völlig willkürlich und vor allem völlig unabhängig von der Arithmetik, die nur die Syntax der Sätze betrachtet. Der Vollständigkeitssatz bestätigt diese Sichtweise, indem er beweist, dass inhaltlichen Folgern und syntaktisches Folgern äquivalent sind. D.h. dass die Syntax und die Semantik von Aussagen parallel voneinander betrachtet werden können ohne gegenseitige Überschneidungen.

Aktuell untersuche ich den Unvollständigkeitssatz allerdings genauer. Dieser zwingt mich eventuell zum Umdenken. Damit der Widerspruch zustande kommt, muss die Syntax mit der Semantik verknüpft werden. Der Satz der von sich selber behauptet, er sei nicht beweisbar, muss syntaktisch und semantisch ausgewertet werden. Die syntaktische Auswertung betrifft die syntaktische Aussage der Nichtbeweisbarkeit, welche mit der semantischen Auswertung verknüpft wird, dass der Satz einen Wahrheitswert besitzen muss.

Ist die Syntax und Semantik von Aussagen nicht zu trennen, kann die Logik nicht als reine Arithmetik verstanden werden. Wodurch dem Begriff der Aussage eine fundamentale Bedeutung zukommen müsste.

Wie bei allen Paradoxiebeweisen interessiert mich, wie diese selbst in das Korsett der Logik passen. Die Lehrmeinung ist, dass alle Paradoxiebeweise in der klassischen Logik führbar sind. Nur wundert mich speziell bei diesem Beweis, wie das gehen soll. Entweder die Verknüpfung der Syntax mit der Semantik ist auflösbar, da die klassische Logik nur syntaktische Umformungen kennt. Wodurch für mich der Begriff der Aussage, wie oben beschrieben, doch ein abgeleiteter Begriff ist, oder der Beweis ist nicht in der klassischen Logik führbar, da er die Verknüpfung zwischen der Semantik und Syntax nicht auflösen kann.

Vielleicht fällt jemanden ja was ein zu dem Problem.

Gruß Simon


SimonSt
Mitglied


Anm.Dat: May 17, 2012
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BeitragVerfasst am: Mi Mai 30, 2012 1:15 pm


Hallo,

da noch keiner eine Antwort auf meinen Beitrag geschrieben, wie man die Mathematik mit einer Logik des Bewußtseins beschreiben könnte, liefere ich hier noch ein paar Erklärungen, wie ich zu den einzelnen Punkten gekommen bin oder wie sie genauer zu verstehen sind.

Ich habe anfangs mit Mitstudenten über Paradoxien diskutiert und später alleine weitergemacht. Mit einer Mitstudentin bin ich auf die Paradoxien in der Mathematik aufmerksam geworden und es hat uns gewundert, dass die Mathematik an einigen Stellen wegen ihnen umdefiniert werden musste, die Paradoxien an anderer Stelle aber benutzt wurden um gewisse Beweise zu führen. Wir waren der Ansicht, das eine Logik frei von Selbstbezüglichkeiten sein sollte. So versuchten wir eine “saubere” Logik aufzubauen.

Unser Ansatz war, dass wir erstmal logische Grundelemente finden mussten und diese auf die richtige Weise kombinieren wollten um alle logisch richtigen Strukturen zu erhalten. Die logischen Grundelemente zu finden war schon nicht einfach, wir wollten keine Annahmen schon hineinstecken. Wir kamen dann zu der Ansicht, dass man in der Mathematik oder Logik stets Objekte betrachtete, die in irgendwelchen Relationen oder Beziehungen zueinander standen. Da wir nichts über diese Objekte oder deren Beziehung zueinander annehmen wollten, nahmen wir völlig unbestimmte Objekte und völlig unbestimmte Beziehungen an. Auf die Weise wollten wir mit einer geeigneten Kombinatorik alle mathematischen Strukturen aufbauen. Nur gelang uns dies nicht, da nicht die Vielfalt der Mathematik herauskam. Jede kombinatorische Kombination schien beliebig und selbst die einfachsten Strukturen, wie die der Arithmetik fanden keine Erklärung. Da keine kombinatorische Kombination einer anderen in irgendeiner weise ausgezeichnet war, fehlte so etwas wie eine Assymetrie.

Da wir hier nicht weiter kamen schauten wir uns nochmal die Grundobjekte an. Deren Begründung schien uns nicht fundamental genug. Warum sollte gerade dies der Grundstein der Logik sein, man könnte aus Symmetriegründen auch genau das Gegenteil behaupten. Wir suchten nach noch “atomareren” Elementen in der Logik, bis uns schließlich das Prinzip des Unterscheidens auffiel. Beispielsweise die Unterscheidung, dass ein Objekt x nicht identisch ist mit einem anderen Objekt y, oder einfach die Unterscheidung zwischen x und nicht-x.

Das Prinzip der Unterscheidung ist nicht in gänze angreifbar. Behauptete man, die Welt sei nur aus Nicht-Unterscheidungen aufgebaut, so unterschied dieser Kritiker zwischen dem Unterscheiden und dem Nicht-Unterscheiden. Diese Unterscheidung macht der Kritiker implizit.

An dieser Stelle fiel uns was auf, wir hatten bei der Argumentation die Betrachtungsebene verlassen. Wir haben die Mittel mit denen die Objekte betrachtet wurden mit in die Argumentation einfließen lassen. Das war der Startschuss für eine neue Denkweise. Vielleicht war die Selbstreferenz doch nicht komplett zu verteufeln. Wir wollten sie in sofern zulassen, dass die Mittel mit denen man mit den Objekten hantiert mit in die Betrachtung nehmen.

Zunächst betrachteten wir die Paradoxiebeweise in der Mathematik nicht mehr als völlig unzulässig, vielleicht sind es gerade die, die etwas grundlegendes in der Mathematik offenbaren. Wir schauten uns also diese Beweise etwas genauer an (nicht so genau, wie ich diese mir in den letzten Jahren erarbeitet habe).

Wir wollten das Prinzip der Selbstbezüglichkeit genauer verstehen, und haben versucht die Selbstbezüglichkeit in einem allgemeineren logischen Rahmen zu packen. Da wir mittlerweile zugelassen haben, dass die logischen Mittel selbst mitbetrachtet werden dürfen um eine Theorie aufzubauen, haben wir uns mit dem Paradoxon beschäftigt, welches ich als die “Mutter” aller Paradoxien bezeichnet habe (siehe Beitrag oben). Es ging darum eine Theorie des Denkens zu erstellen, bei der der Theoriebildner Teil der Theorie sein sollte. Aber stets “entschlüpfte” uns das Subjekt. Dieses entschlüpfende Subjekt spielt in meiner Ausarbeitung noch eine wichtige Rolle, deshalb versuch ich an dieser Stelle genauer zu beschreiben, was da der Betrachtung entschlüpft.

Dieses Subjekt haben schon viele Philosophen beschrieben. Descartes schreibt, dass alles auch seine Gedanken von einem bösen Dämon vorgespielt sein könnte, nur der Zweifler, der an dem vorgespielten zweifelt, sei sicher real. Jasper spricht davon, dass wenn das Subjekt sich selbst zur Betrachtung nimmt, das Subjekt zum Objekt wird und das “eigentliche” Subjekt sich der Betrachtung entzieht. Hierzu sei von mir angemerkt, dass sogar eine fortwährende Betrachtung der Mittel, die das Subjekt benutzt um mit den Gedanklichen Objekten zu hantieren, stets ein Loch hinterlässt. Man kann auch von einer Theorie sprechen, die versucht den Prozess der Erkenntnis zu beschreiben, das Subjekt der Erkenntnis bliebe abermals außen vor.

Bezogen auf die Mittel, die man zur Beschreibung einer Logik braucht, können diese Mittel nicht selbst von der Logik vollständig erfasst werden. Man benötige immer stärkere Mittel um etwas zu beschreiben. Auch dies deutet auf einen Fluchtpunkt hin, wenn die Mittel einer Beschreibung dem Subjekt näher sind, als das Beschriebene.

Die Lösung, die ich später fand, war wie beschrieben, nicht das Subjekt zum Gegenstand der Betrachtung machen zu wollen, sondern die Selbstbetrachtung als logisches Mittel zu untersuchen. Wenn EIN Reflexionsprozess eine Verobjektivierung des Subjekts darstellt. So sollten die Regeln, die man für die Selbstbetrachtung aufgestellt hat in jedem Reflexionsprozess gültig sein. D.h. man benötigt keine stärkere Logik um die Logik des Verstandes zu beschreiben, wenn man die Selbstbetrachtung beschreibt. Man untersucht genau das Mittel was stets über den gestellten Rahmen hinausgeht.

Die Idee war, die Mathematik alleine mit dem Konzept der Selbstbetrachtung zu erklären. Das Konzept ging so, dass nicht nur die aktuellen Objekte betrachtet werden sollten, sondern auch die Mittel mit denen man mit ihnen hantiert. Selbst die Mittel mit denen man die Mittel beschreibt, sollten wieder in die Betrachtung fallen.

Hierbei ergab sich eine neue Betrachtungsweise von dem was man als Ich bezeichnen würde. Das Ich sollte nun komplett dadurch beschrieben werden, wie es mit den gedanklichen Objekten hantiert. Dem eigentlichen Ich sollte keine Struktur zugeordnet werden, sondern nur den Objekten, die das Ich betrachtet. Reflektiert das Ich sich selbst, nehme es lediglich seine Mittel mit in die Betrachtung, mit denen es mit den Objekten hantiert.

Der Begriff des Subjekts und des Objekts bekämen so eine völlig unterschiedliche Form. Das Objekt wäre konkret und stets das Betrachtete, das eigentliche Subjekt würde nie in die Betrachtung rutschen, sondern lediglich seine Mittel. Durch dieses ungleiche Verhältnis sollten sich alle Assymmetrien in logisch/mathematischen Strukturen erklären lassen.

Dabei sollte der Fluchpunkt der Selbstbetrachtung (hiermit meine ich das Subjekt, was nie in die Betrachtung rutscht) in der Mathematik keine Rolle spielen. Die Mathematik kennt nur konkrete Strukturen, so sollte die Mathematik allein mit dem verobjektivierbaren, also der Verobjektivierung der Mittel, beschrieben werden können.

Die Verobjektivierung der Mittel stellt keinen Selbstbezug dar, wie er aus Paradoxien bekannt ist. Deshalb müssen alle Paradoxiebeweise, sofern sie gültig sind, uminterpretiert werden. Etwa so, das man versucht im Beschriebenen die Mittel selbst wiederzufinden. Wie in meinem ersten Beitrag zum Bewußtsein, konnte ich einige Paradoxiebeweise so uminterpretieren, dass das Diagonalelement nicht in den Darstellungrahmen passt, in das man es hineinzwängen will. Dies gelingt, wenn der Paradoxiebeweis tatsächlich eine erweiterte Klasse von Strukturen definiert.

Was ich an dieser Stelle nicht nochmal genau erklären will ist, dass ich das, was ich mit den Mitteln meine in wenige Grundbegriffe aufsplitte. Eine vorzeitige Beobachtung von mir ist, dass jeder Grundbegriff seinen eigenen Paradoxiebeweis kennt, wo dieser Grundbegriff im Zentrum steht.


Aber wie kam ich jetzt zu der These, dass der Fluchtpunkt eine entscheidene Rolle in unserem Weltbild spielt? Als Physiker möchte ich die Welt mit Mathematik beschreiben. Ich denke, dass letztendlich alles mit Strukturen beschrieben werden kann. Aber wenn die Physik letztendlich auch nur reine Struktur ist, wie unterscheidet sie sich von der reinen Mathematik. Es musste der reinen Mathematik etwas hinzugefügt werden, damit sie zu einer Beschreibung der Physik wird. Die Physik enthält Seiensarten, die nicht zur Mathematik gehören, und die durch Materie oder Raumzeit beschrieben werden. Neben den Kategorien der Raumzeit und der Materie, gibt es viele weitere Denkkategorien, die teilweise auch nur für unseren Geist eine Rolle spielen. Durch die ständige Verobjektivierung der Mittel die wir in unserem Verstand benutzen ist kein fester Bezugspunkt gegeben. Der einzig feste Bezugspunkt in unserem Denken ist der Fluchtpunkt, gerade deshalb, weil er nie betrachtet wird. Eine Denkkategorie wird nun so von mir definiert, dass sie eine Menge von Dingen ist, bei der jedes einzelne Ding den gleichen Bezug zum Subjekt hat (dem Fluchtpunkt). Ich stellte fest, dass dies bei allen festen Kategorien der Fall war, egal ob es eine geistige Kategorie oder eine Kategorie aus dem physischen war. Daher meine These, dass wir alle Objekte so einordnen, dass wir sie entweder zu bereits eingordneten Objekten in Beziehung setzen oder letztend zum Subjekt in Beziehung setzen.

Ich hoffe jetzt ist einiges klarer geworden.

Gruß Simon


SimonSt
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Anm.Dat: May 17, 2012
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BeitragVerfasst am: Sa Jun 02, 2012 1:09 pm


Hallo Simon,

in meiner Stufenlogik bin ich den umgekehrten Weg gegangen:
Ausgehend von einer Unzufriedenheit mit gewissen Paradoxien in Logik und Mathematik
untersuchte ich, welche formale Änderungen an der Logik hier Abhilfe schaffen könnten.
Und mit der Stufenlogik wurde ich fündig, d.h. nun waren Aussagenlogik, Mengenlehre und Arithmetik ohne die Paradoxa möglich.
Zentraler neuer Begriff in der Stufenlogik ist die "Stufe",
den ich als "Wahrnehmungsstufe" oder "Metaebene" interpretiere,
aber noch nicht richtig verstanden habe:
Er kann sowohl subjektbezogen als auch rein formal gedeutet werden.

In der Stufentheorie sind Selbstbezüge möglich und unproblematisch:
Mengen können sich selbst als Elemente enthalten (nur kann das je Stufe unterschiedlich sein).

Über das Subjekt sagt meine zunächst formale Logiktheorie wenig aus.
Andererseits erweitert sie unseren Horizont für die möglichen Mittel,
mit denen wir solche Fragen untersuchen können:
Denn auch das philosophische Nachdenken über das Subjekt bzw. Bewußtsein wendet ja wohl gewisse "Denkregeln" (=eine Art Logik) an.
Hier will die Stufentheorie die Möglichkeiten erweitern.
Leider sind die Ergebnisse auf den formalen Gebieten (Mengenlehre, Arithmetik) viel konkreter als auf den spannenderen philosophischen Gebieten (Subjekt, Bewußtsein, freier Wille) oder den physikalischen Ursache - Wirkung, Zeit).
Immerhin zeigt die Anwendung der Stufenlogik auf den Beweis der Bellschen Ungleichung,
dass dort ein Stufenwechsel geschieht und der Beweis für die Nichtexistenz verborgener Variabler mit Stufenlogik nicht mehr gültig ist.

Gruß
Trestone


Trestone
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BeitragVerfasst am: So Jun 03, 2012 10:50 am


Trestone hat folgendes geschrieben:

Immerhin zeigt die Anwendung der Stufenlogik auf den Beweis der Bellschen Ungleichung,
dass dort ein Stufenwechsel geschieht und der Beweis für die Nichtexistenz verborgener Variabler mit Stufenlogik nicht mehr gültig ist.

Kannst du das erläutern ?


Gammel
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BeitragVerfasst am: So Jun 03, 2012 1:52 pm


Hallo Gammel,

Zur Bellschen Ungleichung habe ich mich nur mit der vereinfachten Darstellung für Laien
von Franz Embacher befasst: http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Quantentheorie/EPR/

Ich hoffe, dass meine Schlussfolgerung dennoch gilt:
Die entscheidenden Formel in der Darstellung dort:
N(w,a) <= N(w,f) + N(a, -f) (Formel 7)
In Worten: Die Anzahl der Frauen, die mit dem Auto fahren, ist kleiner-gleich der Anzahl der Frauen, die französisch können plus der Anzahl der autofahrenden Mitarbeiter beiderlei Geschlechts, die nicht französisch können.

In der Stufentheorie ist N(w,a) = Anzahl x: ( W(x,t)=w und W(x,t+1)=a )
N(w,f) = Anzahl x: ( W(x,t)=w und W(x,t+1)=f )
N(a, -f) = Anzahl x: ( W(x,t)=a und W(x,t+1)= -f )
Denn in der Stufentheorie kann eine Eigenschaft (z.B. weiblich zu sein in Stufe t)
nur in einer höheren Stufe bekannt sein, daher benötigt man die Stufen t und t+1 für die kombinierte Eigenschaft „Frauen, die mit dem Auto fahren“.

Nun können wir leicht ein Gegenbeispiel zur Bellschen Ungleichung konstruieren:
Es gebe jeweils 100 Frauen zu Stufe t, davon 90 Autofahrerinnen zur Stufe t+1,
also N(w,a) = Anzahl x: ( W(x,t)=w und W(x,t+1)=a ) = 90.
Es gebe 25 Frauen zur Stufe t, die französisch zu t+1 sprechen: N(w,f)=25.
Zur Stufe t gebe es nur 25 Autofahrer/innen. Damit N(a,-f) <= 25
Und somit N(w,a) = 90 > N(w,f) + N(a, -f) <= 50 !
Die Bellsche Ungleichung gilt also bei Beachtung der Stufen nicht mehr allgemein.

Gruß
Trestone


Trestone
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BeitragVerfasst am: So Jun 03, 2012 4:07 pm


Hallo Trestone,
Zu deiner Stufenlogik. Hast du die irgendwo noch formaler ausgearbeitet oder ist das hier die vorläufige Form? Ich denke, wenn man das formal ausarbeiten will sollte man die Prädikatenlogik erster Stufe als Grundlage nehmen und zeigen, wo man sie erweitert.
Hast du mal ein Buch über mathematische Logik gelesen, oder dir die Grundlagen anderweitig angeeignet? Die Mathematiker sind sehr zufrieden mit ihrer Prädikatenlogik erster Stufe. Die Lehrmeinung ist, dass sie ausreichend für die gesamte Mathematik ist. Es läßt sich alles in ihr formulieren, wenn man eine Mengenlehre als Grundlage nimmt. Der Umweg über die Mengenlehre beseitigt das Manko, dass man nur über Objekte erster Stufe quantifizieren kann, also nur All und Existenzquantoren über Objekte des Grunduniversums. Über eine Mengenlehre kann auch über Objekte höherer Stufe, wie Funktionen und Relationen zwischen Grundobjekten, quantifiziert werden, da diese ebenfalls als Mengen darstellbar sind und so Grundobjekte des Universums sind.
Es gibt Beweise, dass bestimmte "schöne" Eigenschaften wie die Vollständigkeit wegfallen, wenn man eine Logik zugrunde legt, die ausdrucksstärker ist als die Prädikatenlogik erster Stufe. So gesehen haben es alle Erweiterungen schwer. Es muss schon ein deutlicher Vorteil zu sehen sein.
Den Vorteil sähe ich bei dir, dass die Paradoxiebeweise nicht mehr führbar wären. Ich versuche schon seit langem diese Beweise logisch zu isolieren (wenn du willst kannst du dazu gerne eine mathematische Ausarbeitung dazu sehen, die nicht ganz zum Ziel geführt hat, aber einen interessanten Ansatz liefert). Man müsste genau zeigen, warum nur bestimmte Beweise betrofffen sind. Meine Erfahrung mit der Mathematikgemeinde ist, dass diese Beweise nicht mal als Beweise spezieller Art erkannt werden.
Andererseits bauen viele Begrifflichkeiten auf diese Beweise auf, z.B. höhere Unendlichkeiten. Aus Philosophischer Sicht interessiert mich wie der Aufbau der Mathematik dann aussähe.
Aber nun ein paar konkrete Fragen:
1. Soll das so sein, dass man über die Stufe t quantifizieren kann? Soll heißen, dass man Aussagen bilden kann, die Teile wie "für alle Stufen t gilt.." oder "Es existiert eine Stufe t, für die..". Oder sollen solche Aussagen nur in der Metatheorie deiner Logik möglich sein. (Ich habe solche Aussagen bei dir entdeckt und mich gefragt, ob sie zur Objektsprache gehören sollen.) Bei einer Logik kommt es entscheidend darauf an, über was man quantifizieren kann.
2. Und eine Frage, von jemandem, der sich noch keine Gedanken über eine Stufenlogik gemacht hat. Ist der "Lügner" überhaupt in der klassischen Logik formulierbar? Ich treffe auf Formulierungen des "Lügners" nur in Stufenlogiken (in deiner und in die von Blau). In der klassichen Logik gibt es meines Wissens das Wahrheitsprädikat gar nicht. Man kann also gar nicht über die Wahrheit von Aussagen sprechen. Ich frage mich also, wie die Einführung von Stufen und die Einführung des Wahrheitsprädikats zusammenhängen? Bedingt eine Einführung des Wahrheitsprädikats die Einführung von Stufen, da sonst Widersprüche auftreten würden? Und warum führt man das alles erst ein, wenn der "Lügner" in der klassischen Logik gar nicht formulierbar ist?

Grüße Simon


SimonSt
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BeitragVerfasst am: So Jun 03, 2012 5:27 pm


Hallo Simon,

Die Darstellung in diesem thread ist im wesentlichen alles, was ich dazu habe.
(ich suche immer noch jemand, der das Ganze systematischer angeht und aufschreibt …).
Als Grundlage habe ich ein Mathematik- und Philosiophiestudium,
inzwischen über 20 Jahre zurückliegend.

Zu Deinen Fragen:
Zu 1) Ja, man kann in Stufenlogik über t quantifizieren (mit „für alle t“ und „existiert t“), dabei gilt Axiom A6:
(Meta-)Aussagen über t sind ab Stufe 1 stets w oder stets –w (also weitgehend wie klassische Aussagen).
Schreibweise: Bei Metaaussagen M steht W(M,1f) für W(M,1)=W(M,2)=W(M,3)=…
Die Metasprache ist in der Stufentheorie eingeschlossen.

2) Verstehe ich nicht, denn meiner Meinung nach gibt es Wahrheitsprädikate auch in der klassischen Aussagenlogik.
http://de.wikipedia.org/wiki/Aussagenlogik
„Diese Aussage ist nicht wahr“ wäre daher eine klassische Formulierung der Lügnerparodoxie, Stufen benötigt man hierzu nicht.

Gruß
Trestone


Trestone
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BeitragVerfasst am: Di Jun 05, 2012 9:58 am


Hallo Trestone,
schöne Fächerkombination. Ich habe auch immer mit der Philosophie geliebäugelt aber nicht studiert. Ich habe dort lediglich Vorlesungen besucht, und eben auch die von Prof. Ulrich Blau, der ebenfalls eine Stufenlogik entwickelt hat, wobei er die Lügnerparadoxie auflösen wollte (formal aufgeschrieben in seinem Buch über Paradoxien).

Ich kann die Stufenlogik nicht für dich aufschreiben (Du schreibst du sucht jemanden dafür), ich kann aber mit dir systematisch die offenen Fragen durchgehen. Mein Interesse speist sich aus deiner Behauptung, dass die Paradoxiebeweise in deiner Stufenlogik nicht führbar sind. Für mich ist zwar immer noch die Frage offen, ob diese Beweise überhaupt alle in der Standardlogik (Prädikatenlogik erster Stufe) führbar sind, mich interessiert aber wie das in deiner Logik aussieht.
Ist deine Idee, dass bei Paradoxiebeweisen, die widersprüchlichen Aussagen einer anderen Stufe angehören und so kein Widerspruch auftritt, da es Widersprüche nur auf gleicher Stufe gibt? Ist es dann so, dass die Aussagen von gewöhnlichen Beweisen alle in einer Stufe bleiben, oder haben sie auch verschiedene Stufen aber in jeder Stufe den gleichen Wahrheitwert?

In der Wissenschaft braucht man nicht etwas entwickeln was schon ein anderer gemacht hat. Man müsste also gucken, wie der Blau seine Stufen definiert. Ich vermute mal er meint mit Stufen was anderes, da die angesprochenen Beweise nicht von seiner Logik angegriffen wird.

Zu deiner Aussage: "Die Metasprache ist in der Stufentheorie eingeschlossen"
Die Frage ist was von der Metatheorie hier eingeschlossen ist. Ich kenne Ansätze die eine Metatheorie einschließen, indem ein logisches Symbol eingeführt wird, die Anführung ("..."). Damit kann mann Objektsprachliche Ausdrücke anführen und über sie sprechen in der Objektsprache selbst. Dies führt dazu, dass eine Sprache über ihre eigene Syntax sprechen kann. Ich denke du meinst was anderes, dir geht es nur um die Semantik genauer den Wahrheitsgehalt. Wenn ich dich richtig verstehe ist eine Metasprache, die über den Wahrheitsgehalt Objektsprachlicher Ausdrücke spricht selbst in deiner Objektsprache formulierbar.

Wenn du Quantoren über die Stufe zulässt, warum ist dann der Lügner, der über alle Stufen spricht nicht zulässig? Anscheinend kann doch nicht ganz frei Quantifiziert werden. Ich erinnere mich, dass Blau mehr als unendlich viele Stufen verwendet, sondern die ganze Hierachie von Unendlichkeiten als Stufen. Der Lügner, der über alle Stufen spricht war bei ihm auch ein Problem, er war letztendlich, aber nicht mehr formal formilierbar, wenn er über die ganze Hierachie von unendlichen Stufen sprechen sollte.

Zum Wahheitsprädikat: Ich habe mir den Link angeschaut. Die Objektsprache der Aussagenlogik kennt nach meinem Verständnis kein solches Prädikat (nur Metasprachliche Aussagen behaupten, dass ein Satz wahr ist). Auch die Prädikatenlogik erster Stufe kennt keine solchen Prädikate. Hier werden nicht Aussagen mit Prädikaten versehen, sondern nur die Terme. Sie werden mit Relationen und Funktionen miteinander verknüpft. Meines erachtens wäre das auch ein schwerwiegendes Problem, wenn der Lügner in der Standardlogik formulierbar wäre. (Hier lasse ich mich aber gerne vom Gegenteil überzeugen).

Grüße Simon


SimonSt
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BeitragVerfasst am: Do Jun 07, 2012 9:41 am


Hallo Simon,

mir ist klar, dass meine Darstellungen und Schreibweisen etwas sperrig und gewohnheitsbedürftig sind.
Aber gerade auch um solche Fragen wie Deine zu beantworten, habe ich sie aufgeschrieben.
Lässt man sich darauf ein, findet man hier im thread die (bzw. meine) Antworten
(z.B. bei Beispiel LL zu "Lügner in allen Stufen" oder zur Russell-Menge oder zum Cantorschen Diagonalbeweis).
Was möchtest Du dazu genauer wissen?

Gruß
Trestone


Trestone
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BeitragVerfasst am: Mo Jun 11, 2012 1:29 pm


Hallo Trestone,

Hatte übers Wochendende kein Internet, deshalb etwas verspätet die Antwort.

Am meisten interessiert mich die Frage, inwieweit der “Lügner” (“Dieser Satz ist nicht wahr”) in der gewöhnlichen Logik formulierbar ist. Deiner Aussage zufolge wäre er in dieser formulierbar. Ich denke aber, dass wenn dies so wäre, die Mathematik ein Problem hätte und sie deshalb schon längst alles umdefiniert hätten, wie sie es bei dem auftreten der Russelmenge geschah. Meines erachtens ist der Lügner weder in der Aussagenlogik noch in der Prädikatenlogik formulierbar. Wobei ich mich gerne vom Gegenteil überzeugen lasse, von eigenen Irrtümern lernt man am meisten.

1. Aussagenlogik: In der Aussagenlogik gibt es Aussagen A, B, .... Die durch UND, ODER, NICHT verknüpft sind. Diesen Aussagen oder Kompensationen davon kann ein Wahheitswert zugeordnet werden. Dabei gibt es Aussagen, die immer wahr sind (Tautologien) und Aussagen, die immer falsch sind, bzw. nicht erfüllbar. Das zuordnen eines Wahrheitswerts zu einer Aussage geschieht in der Metasprache. In der Sprache der Aussagenlogik selbst gibt es nicht das Prädikat “folgende Aussage ist wahr:” oder W(A).

2. Ich betrachte zunächst die Prädikatenlogik erster Stufe: Im Unterschied zur Aussagenlogik bekommen die Aussagen hier eine Struktur. Eine Aussage enthält Relationen und Funktionen von Grundelementen, z.B. xRy, was heißen soll, dass x in Relation zu y steht. In “xRy” kommen x und y frei vor, d.h. es können beliebige Grundelemente eingesetzt werden. Zum Binden von Variablen, wie x und y existieren Quantoren. Mit ihnen sind Aussagen möglich wie “für ALLE x, EXISTIERT ein y, so dass xRy”, oder “für ALLE x, EXISTIERT ein y, so dass A(x,y)”, wobei A eine Eigenschaft ist, die x und y haben können. Die Logik wird deshalb Prädikatenlogik genannt, da Aussagen wie A(x) einem x eine Eigenschaft zukommen läßt, also dem x ein Prädikat zuordnet. Hierbei wird allerdings nur Grundelementen Prädikate zugeordnet, und nicht Aussagen selbst. D.h. das Prädikat, welches einer Aussage die Eigenschaft zuordnet wahr zu sein, existiert in der Sprache nicht.

3. Prädikatenlogik höherer Stufen: Hier könnte man Aussagen über Umwegen Eigenschaften zuordnen. Da hier über Teilmengen der Grundelemente quantifiziert werden kann, kann über Relationen (und Funktionen) quantifiziert werden, denn eine einstellige Relation über den Grundelementen ist einfach eine Teilmenge über den Grundelementen (die Elemente auf, die die Relation zutrifft). Genauso könnte man über eine Aussage A(x,y) quantifizieren, da A(x,y) eine zweistellige Relation über den Grundelementen ausdrückt. Allerdings sehe ich auch hier nicht, wie man ein Wahrheitsprädikat für Aussagen einführen kann.

In den hier beschriebenen Logiken wird Wahrheit über die Interpretation in einem Model definiert. In einem Model wird die Aussage entweder wahr oder falsch. Deshalb besitzen meines erachtens diese Logiken in der Objektsprache gar nicht die Mittel über die Wahrheit einer Aussage zu sprechen. Die einzige Möglichkeit, die es gibt, ist über Beweisbarkeit einer Aussage zu sprechen, wie es Gödel tut.

Wenn ich das richtig sehe, muss man, um den “Lügner” zu analysieren für ihn erstmal eine Logik einführen, in der er überhaupt formulierbar ist. Was meines erachtens nicht sinnlos ist, da der “Lügner” das Grundprinzip einer Paradoxie darstellt. Ich wunder mich nur, dass der Lügner anscheinend kein Problem darstellt, da er, wenn ich recht habe, gar nicht formulierbar ist, in den Logiken, die von der Mathematik benutzt werden. Andererseits z.B. die Russelparadoxie zu einer Umdefinierung der Mengenlehre geführt hat.

Grüße Simon


SimonSt
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BeitragVerfasst am: Sa Jun 16, 2012 6:42 pm


Hallo Simon,

bei genauerem Nachlesen glaube ich nun auch, dass der "Lügner" erst in höheren Logikstufen bzw. mit Metasprache formulierbar ist.

Ich selbst habe mir meine benötigten Mittel (Logik, Metasprache) immer einfach selbst so formuliert und genommen,
wie ich sie benötigte um die von mir untersuchten Probleme (inkl."Lügner") zu beschreiben.
Daher war mir dieser Unterschied zur klassischen Logik in meiner Stufenlogik gar nicht so bewusst.

Wenn ich meinen eigenen Ansatz richtig verstehe,
kann man in der Stufenlogik über beliebige Wahrheitswerte, Selbsreferenzen und Metaebenen reden
und es gibt keine Unterscheidung von Metasprache und Objektsprache:

Die Antinomien und Paradoxien werden durch die Stufenregeln abgefangen.
Der Preis ist ein vollig anderer (gestufter) Wahrheitsbegriff ...

Gruß
Trestone


Trestone
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BeitragVerfasst am: Mi Jun 20, 2012 10:57 am


Hallo Trestone,
ich denke auch, dass der "Lügner" erst zum Problem wird, wenn eine Sprache ihre eigene Metatheorie enthält. Interessant dabei find ich den Punkt, dass die Gödelschen Sätze ebenfalls etwas von der Metatheorie einschließen. Dabei soll allerdings nur eine Selbstreferenz auf die eigene Syntax stattfinden und nicht wie beim Lügner auf die eigene Semantik, da der Gödelsche Satz nur über Beweisbarkeit spricht, die sytaktisch formulierbar ist. Allein um Gödel besser zu verstehen sind Logiken, die ihre eigene Metatheorie enthalten ein interessanter Untersuchungsgegenstand für mich.

Am meisten interessiert mich deine Aussage, dass z.B. Überabzählbarkeit nicht in deiner Logik beweisbar ist. Dies möchte ich gerne untersuchen. Dazu schaue ich mir erstmal an, wie der erwähnte Prof. Blau seine Stufen definiert und vergleiche sie mit deinen Definitionen hier.

Kann also erstmal etwas dauern bis Ergebnisse kommen. Vielleicht melde ich mich zwischendurch einmal.

Grüße Simon


SimonSt
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BeitragVerfasst am: Mi Jul 18, 2012 4:26 pm


Hallo,
ich habe den Vergleich von Trestone's und Blau's Stufenlogik erstmal nach hinten verschoben.

Zurzeit interessiere ich mich für die Philosophie des Bewußtseins vorallem des Selbstbewußtseins und dessen Bezug zur Logik. Ich denke, dass es tiefe Parallelen zwischen den Problemen der Selbstreferenz in der Logik und denen beim Bewußtsein gibt.

Ich untersuche zurzeit die Selbstmodell-Theorie von Thomas Metzinger. Ich denke ein Selbstmodell ist Vorraussetzung für Selbstbewußtsein, nur diskutiert er nicht die selbstreferentiellen Probleme, die auftauchen, wenn das Subjekt ein Modell von sich selbst erstellt. Auch sagt er nicht, wie dies technisch (in der KI) umgesetzt werden könnte. Ob dort z.B. ein symbolischer oder subsymbolischer Ansatz zugrunde gelegt werden soll. Und wie das Selbstmodell mit dem Modell der Welt zusammenhängen soll.

Hat jemand Lust über Metzinger's Selbstmodell zu diskutieren (vielleicht in einem anderem Thread)?

Viele Grüße
Simon


SimonSt
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Anm.Dat: May 17, 2012
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BeitragVerfasst am: So Jul 22, 2012 9:16 am


SimonSt hat folgendes geschrieben:
Hat jemand Lust über Metzinger's Selbstmodell zu diskutieren (vielleicht in einem anderem Thread)?

Das Thema klingt sehr interessant und ich würde auf jeden Fall mitlesen.


Telepathetic
Inventar


Anm.Dat: Oct 16, 2010
Beiträge: 537


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BeitragVerfasst am: Mo Jul 23, 2012 12:44 pm


Soweit ich weiß, ist Metzigers Ansatz, dass der Organismus ein internes Selbstmodell erzeugt, der fortgeschrittenste Ansatz in der Bewußtseinsforschung.
Wenn ich es zuende gelesen habe, fasse ich hier ein paar Sachen zusammen.
Er hat auch eine Kurzfassung von 20 Seiten geschrieben, die ich jetzt nicht zur Hand habe aber auch hier verlinke.

Sein Ansatz ist, dass der Organismus über ein Modell seiner Selbst über sich selbst und seiner Beziehung zur Umwelt nachdenken kann. Und so letztendlich Introspektion und Selbstbewußtsein möglich wird.


SimonSt
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Anm.Dat: May 17, 2012
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