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Stufenlogik - eine denkbare Alternative? (nun vollständig)
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Neue Antwort erstellen    Ask1.org Foren-Übersicht -> Philosophie und Grundsatzfragen
BeitragVerfasst am: So Sep 12, 2010 11:23 am


Hallo,

die meisten sind ja mit der (klassischen Aussagen-) Logik ganz zufrieden und sehen wenig Änderungsbedarf,
aber ich selbst bin schon seit über zehn Jahren auf der Suche nach Alternativen.

Auslöser war Unbehagen an Randbereichen wie der Lügnerantinomie, beim Cantorschen Diagonalverfahren,
bei der Russellschen Antinomie und dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz.
Dazu kam das Vorbild der Quantentheorie (und Relativitätstheorie), die einige Grundbegriffe und Ansätze erfolgreich änderten,
so dass mir eine Untersuchung der Logik lohnend erschien, zumal die Logik ja auch bei ihrer Begründung ihr eigener Richter ist.

Von Anfang an war die sogenannte „Stufenlogik“ mein Hauptkandidat,
aber immer wieder scheiterte ich an inneren Widersprüchen oder dem Problem,
dass ich auf der Metaebene bei Beschreibung der Theorie diese nicht passend anwenden konnte.
Zudem fehlte auch eine Erklärung, weshalb wir 2000 Jahre lang mit einer zweiwertigen Logik gut auskamen,
obwohl ich unendlich viele Stufen zugrunde legen wollte.

Jetzt denke ich eine einigermaßen stimmige Beschreibung zu haben,
auch wenn ich zugegebenermaßen die Regeln passend aufgestellt habe,
ohne sie alle letztlich „erklären“ zu können
(etwa wie Niels Bohr bei seinen Regeln zum Atommodell).

Aus der Russellschen Typentheorie stammt die Grundidee mit den Stufen,
aus der Quantentheorie stammt die Anregung, neben wahr und falsch noch einen dritten unbestimmten Wert anzunehmen:
Eine Eigenschaft (z.B. Ort eines Teilchens) muss keinen festen Wert haben,
solange sie nicht gemessen wurde.

Nun ordnete ich nicht mehr wie klassisch Wahrheitswerte einer Aussage A zu,
sondern Messungen W(A,t) des Wahrheitswerts einer Aussage zu einer Stufe t:.

Statt der Zeit in der Physik wählte ich „Denkstufen“ t für die Logik
und ließ dort (d,h, für W(A,t) ) die Werte w (wahr), -w (nicht wahr) und u (unbestimmt) zu.
(Was genau diese Stufen t= 0,1,2,3,… sind, muss sich noch zeigen).

Anders als klassisch kann eine Aussage nun in einer Stufe den Wert u,
in einer anderen den Wert w und danach sogar den Wert –w haben
(Wir werden bald solche Beispiele sehen, z.B. die Lügnerantinomie).

Auch die klassischen Aussagen lassen sich abbilden, es sind genau die Aussagen,
die für alle Stufen größer Null konstant entweder den Wert w oder –w annehmen.
(Die Stufe 0 nehmen wir dabei aus, da dort stets der Wert u gilt (s.u.)).

Diese Eigenschaft haben auch alle Aussagen der Metaebene, d.h. Aussagen über Aussagen, über Stufen t oder Werte W(A,t).
D.h. auf der Metaebene gilt im wesentlichen (bis auf Stufe 0) die klassische Logik.

Wenn wir im Alltag vorwiegend mit Metaaussagen operieren, würde das erklären,
dass wir die Stufenlogik bisher kaum bemerkten.

Hier erst einmal die Hauptregeln der Stufenlogik (zunächst noch klassisch formuliert):

A1: Es gibt eine induktive Menge T von Stufen: t= 0,1,2,3,…

A2: Aussagen A sind stufenlose Gebilde, deren Wahrheitswert wir nur bezogen auf eine Stufe t erkennen können.
(Bei Aussagen über Wahrheitswerte ist also jeweils eine Bezugsstufe anzugeben, d.h. „W(A,t)=…“)

A3: Je Stufe t kann der Wahrheitswert einer Aussage A genau einen der Wahrheitswerte w, -w, u annehmen.

A4: In Stufe 0 sind alle Aussagen unbestimmt.
VA: W(A,0)=u (Eine Art Verankerung, geistiger „Urknall“)

A5: Zwei Aussagen sind (stufenlogisch) gleich, wenn sie in allen Stufen t=0,1,2,… gleiche Wahrheitswerte haben.
VA:VB: ( A=B := Vt: W(A,t)=W(B,t) )

A6: (Meta-)Aussagen über t sind ab Stufe 1 stets w oder stets –w (also weitgehend wie klassische Aussagen).
Schreibweise: Bei Metaaussagen M steht W(M,1f) für W(M,1)=W(M,2)=W(M,3)=…

A7: (Meta-)Aussagen über „W(A,t)=…“ sind ab Stufe 1 stets w oder stets –w

A8: Man kann eine Aussage A (stufenlogisch) definieren, indem man den Wert W(A,t) für jede Stufe t festlegt.
Dies ist auch rekursiv möglich, indem W(A,t+1) mittels W(A,t) festgelegt wird.
Dabei können auch beliebige schon definierte Werte W(B,d) und Metaaussagewerte benutzt werden.
z.B. W(L,t+1) := W( W(L,t)=-w v W(L,t)=u,1f )

Wie man sieht sind A1-A8 klassisch, d.h. W(An,1f)=w.

Durch die Stufen ist die Stufenlogik zunächst einmal komplizierter als die klassische Logik,
sie sollte also Vorteile bieten, um den Aufwand zu rechtfertigen.

Die meisten Vorteile liegen auf abstrakten Gebieten:
Bei den oben angesprochnen Randbereichen gibt es positive Punkte:
Die Lügnerantinomie lässt sich einfangen, das Cantorsche Diagonalverfahren führt nicht mehr zu Überabzählbarkeit,
die Russellsche Antinomie löst sich auf (und es gibt die Menge aller Mengen) und auch zum Unvollständigkeitssatz bin ich optimistisch.
Als Nachteil steht dem gegenüber, dass die natürlichen Zahlen in manchen Punkten wohl stufenabhängige Eigenschaften haben und dadurch komplizierter werden.

Die Verankerung in Stufe 0 mit dem Wert u eröffnet evtl. auch philosophisch neue Möglichkeiten.
Die Anwendung auf nicht mathematisch-logische Probleme (z.B. Geist – Körper – Koppelung) habe ich mir noch nicht überlegt.

Gruß
Trestone


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BeitragVerfasst am: Sa Sep 18, 2010 12:54 pm


Hallo,

Nun will ich versuchen, die Regeln für zulässige Stufenaussagen festzuhalten.
So können wir insbesondere überprüfen, ob die Lügneraussagen zulässig sind – oder hoffentlich nicht.

Regel R1:
Wird für jede Stufe t=1,2,3,.. der Wert W(A,t) als genau einer der Werte w, -w, u definiert, so ist A mit W(A,0):=u ergänzt eine wohldefinierte Stufenaussage.

D1 Negation: - u :=u; - w := -w - -w := w (bzw. - W(u,1f):= u = W(u,1f))

R2: Ist A eine wohldefinierte Stufenaussage, so auch –A und es gilt für alle t: W(-A,t) := - W(A,t).

D2: Verknüpfung: w v w = w, w v u = w, w v –w = w, u v w = w, u v u = u, u v –w =u,
-w v w = w, -w v u = u, -w v –w = -w.
w und w = w, w und u = u, w und –w = -w usw.

R3: sind A und B wohldefinierte Aussagen, so auch „A v B“ und „A und B“
Und es gilt für alle t: W(AvB,t) = W(A,t) v W(B,t); W(A und B,t) = W(A,t) und W(B,t);

R4: Ist B eine für alle t wohldefinierte Stufenaussage, so auch „A:= Es existiert t>t0 mit W(B,t) = w“ (bzw. =u, =-w) (A hat für alle t>=1 entweder den Wahrheitswert w oder –w).

R5: Ist B eine für alle t wohldefinierte Stufenaussage, so auch „A:= Für alle t>t0 gilt: W(B,t) = w“ (bzw. =u, =-w) (A hat für alle t>=1 entweder den Wahrheitswert w oder –w).

R6: Wird W(A,t+1) nur mittels Werten W(A,d) mit d<=t definiert (oder auch mittels Metaaussagen dazu) und dies für alle t>=0,
so ist A eine wohldefinierte Stufenaussage.

Beispiel zu R6:

Wir betrachten eine Stufenvariante L der Lügneraussage:

Für alle t>=0 gelte: W(L,t+1):= W( W(L,t)=u v W(L,t=-w) , 1f )
Dann gilt W(L,0)=u (gilt ja stets)
W(L,1) = W( W(L,0)=u v W(L,0)=-w) , 1f ) = W( u=u v u=-w , 1f ) = w
W(L,2) = ( W(L,1)=u v W(L,1)=-w) , 1f ) = W( w=u v w=-w , 1f ) = -w
W/(L,3)= w; W(L,4)= -w; usw.

L ist also eine zulässige wohldefinierte Aussage, aber dank der Stufen nicht widersprüchlich. Diese „Lügneraussage: L „Diese Aussage ist in Stufe t nicht wahr“ haben wir also integriert. (analog für „Es existiert t0 mit L in Stufe t0 nicht wahr“).

Nu betrachten wir den „Allstufenlügner“ LL:= „Diese Aussage ist in allen Stufen d >= t0 nicht wahr“

W(LL, t+1) := W( Für alle d >=t0 gilt: ( W(LL,d) = u oder W(LL,d) = -w) ) , 1f )

Hier ist weder R5 noch R6 anwendbar, denn LL ist ja noch nicht wohldefiniert (wie zu B bei R5 gefordert) und für d>=t+1 wird auch d<=t von R6 verletzt.
LL ist also wohl keine zulässige Stufenaussage.

Und das ist auch gut so, denn LL wäre widersprüchlich (wie der klassische Lügner):
Als Metaaussage müsste W(LL,t+1) entweder w oder –w sein:
Sei t>t0;
1. Fall: Annahme, es gilt W(LL,t+1)=w. Betrachte in der rechten Klammer den Fall mit d=t+1, dann hat diese den Wert –w, also ein Widerspruch.
2. Fall: Annahme, es gilt W(LL,t+1)=-w. Betrachte in der rechten Klammer den Fall mit d=t+1, dann hat diese den Wert w, also ein Widerspruch.

Das Ganze ist zwar formal noch nicht 100%-ig, aber ich würde sagen „1:0 für die Stufenlogik“.

Gruß
Trestone


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BeitragVerfasst am: Sa Sep 18, 2010 4:52 pm


Hallo,

Kommen wir nun zur Mengenlehre, hier finde ich die Stufenlogik am überzeugendsten, denn wir können (relativ) nahe an dem naiven Cantorschen Ansatz bleiben.

Dazu definiere ich die Element-Eigenschaft “x e M“ stufenlogisch:

(Die Menge) x ist von Stufe t+1 aus gesehen Element der Menge M,
genau dann wenn x von Stufe t aus gesehen die Eigenschaft A(x) hat.
Genauer: Der Wahrheitswert von „x e M“ in Stufe t+1 ist der Wahrheitswert von A(x) in Stufe t.

M1:
W(x e M, t+1) := W ( A(x), t )

Mengengrundansatz M2:
Zu jeder stufenlogischen Aussage A(x) über beliebige Stufenmengen x
gibt es eine Stufenmenge M, die für alle t=0,1,2,3,…
die Elementgleichung erfüllt:
W(x e M, t+1) := W ( A(x), t )

Grundmengen M3:
Zu jeder Eigenschaft A(x) gibt es also eine Menge M.
Und wir betrachten (zunächst) umgekehrt auch nur Mengen, die eine solche t+1-Darstellung über A(x) und t besitzen. (Wird noch erweitert, z.B. M3b)

Metamengen M3b:
Sei F eine logische Funktion (wie z.B. Negation, Idendität, oder z.B. FoW(xeM1,t) = W(xeM1,t)=u ).
W(x e M, t+1) := W ( F o W(x e M1, t), 1f ) definiert eine (Meta-)Menge M
(wobei auch M1=M erlaubt ist.)

Folge zu Stufe 1 aus M2/M3:
Für alle x und Grundmengen M gilt: W(x e M, 1) = u.
Von Stufe 1 aus sind alle Grundmengen unbestimmt (denn W(A(x),0)=u gilt ja stets).
(Metamengen sind in Stufe 1 w oder –w.)

Mengengleichheit M4:

W(M1=M2, d+1) = W ( Für alle t gilt: W(xeM1,t) = W(xeM2,t) , 1f )
Insbesondere gilt: W(M=M, d+1)=w für d>=0.
Mengengleichheit ist eine Metaaussage die in allen Stufen d+1>1 entweder w oder –w ist.

Leere Menge 0:

W(x e 0, t+1) := W( -w , t ) = -w für t>0 und =u für t=0.

All-Menge All:

W(x e All, t+1) := W (w,t) = w für t>0 und =u für t=0.

Unbestimmte Menge U:

W(x e All, t+1) := W (u,t) = u für t>=0.

Verknüpfungsregeln M5:
Sei jeweils W(x e M1, t+1)=W(A1(x), t) und (x e M2, t+1)=W(A2(x), t).
Dann gilt:

W(x e M1 v M2 , t+1) := W( A1(x) v A2(x) , t ) = W(x e M1, t+1) v W(x e M2, t+1)
W(x e M1 und M2 , t+1) := W( A1(x) und A2(x) , t ) = W(x e M1, t+1) und W(x e M2, t+1)

W(x e All – M, t+1) = W(w und – A(x), t)
W(x e M1 – M2, t+1) = W(A1(x) und – A2(x), t)

Definition Ungleichheit:
W(A,t) -= w :<-> W(A, t) = -w oder W(A, t) = u

W(A-=B,1f) := W( Es existiert t mit W(A,t) -= W(B,t) , 1f )

Russellmenge:
Wir benutzen M3b:
Wir wählen als definierende Eigenschaft für R: W(x e x, t) -= w.
W(x e R, t+1) := W ( W(x e x, t) = -w oder W(x e x, t) = u , 1f); W(R e R,0 ):= u.
t=0: W(R e R, 1) := W ( W(R e R, 0) = -w oder W(R e R, 0) = -w, 1f) = w.
W(R e R, 2) := W ( W(R e R, 1) -= w , 1f) = -w.
W(R e R, 3) := W ( W(R e R, 2) -= w , 1f) = w. Usw.

Also widerspruchsfrei möglich.

Selbstbezügliche Aussagen wie „x e x“ oder „x –e x“ sind also in der Stufenmengenlehre möglich,
allerdings darf bei der Definition von „x e M“ in Stufe t+1 nur allenfalls auf „x e M“ in Stufe t zurückgegriffen werden.

Nun definieren wir eine Menge RR mit „Für alle t: W( x e x,t) -= w“.
W(x e RR, d+1):= W ( Für alle t: W( x e x,t) -= w , 1f ).

Die Definition von RR ist weder über M3 noch M3b abgedeckt, d.h. RR ist (wohl) keine Stufenmenge.

Dies ist auch gut so, denn RR ist widersprüchlich:
Wir betrachten x=RR und d=0:
W(RR e RR,1) = W (Für alle t: W( RR e RR,t) -= w , 1f ).
1. Fall: W(RR e RR,1)=w. Dann ist die rechte Seite = -w, Widerspruch.
2. Fall: W(RR e RR,1)=-w. Dann ist W(RR e RR, d+1)=-w für alle d, da RR e RR nach Konstruktion eine Metaaussage ist.
Damit hat die rechte Seite den Wert w, erneut Widerspruch.

Auch in der Stufenmengenlehre gilt also:
Die Lügneraussage bzw. der negative Selbsbezug auf nur eine Stufe ist (widerspruchsfrei) möglich und zulässig,
über alle Stufen aber von den Bildungsregeln her nicht zulässig.

Aus meiner Sicht: „2:0 für die Stufenlogik“.

Gruß
Trestone


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BeitragVerfasst am: Sa Okt 02, 2010 1:11 pm


Hallo,

jetzt einmal wieder ein Bild nach den vielen Formeln:

Die Stufenlogik lässt sich auch als Wahrnehmungstheorie interpretieren:

Ein Subjekt nimmt Objekte wahr,
und betrachtet diese aus immer wieder anderen Perspektiven.

Zum Beispiel stelle ich mir einen (unendlich hohen) Turm vor,
der in jedem Stockwerk Fenster hat.
Das Subjekt kann aus je einem dieser Stockwerke blicken (=Stufe t)
und nimmt den (Aussage-)Gegenstand A dann mit einem der Werte W(A,t) wahr.

Dieser Wert ist also eine Kombination aus der (subjektiven) Perspektive
und der Eigenschaft des Objekts.

Ob es reine Eigenschaften „an sich“ des Objekts gibt, bleibt dabei offen,
in der Stufenlogik werden nur die Kombinationen betrachtet.

In Stufe 0 sind die Fenster blind, denn wir sehen immer „u“,
unabhängig vom betrachteten Objekt, d.h. hier dominiert der Perspektivanteil.

Dass ich hier „Wahrnehmung“, „Wahrheitswert“, „Objekt“ und „Aussage“ munter durcheinanderwerfe ist Absicht,
um ein konkreteres Bild zu schaffen.

Hier zeigt sich auch, wie radikal die Stufenlogik in unser Weltbild eingreift.
Denn auch ich ertappe mich immer wieder dabei, dass ich mich frage,
wie eine Eigenschaft in einer Stufe vorliegen kann und in einer anderen nicht,
entweder hat etwas eine Eigenschaft – oder nicht?

Die Stufenlogik dagegen zeigt die Eigenschaften als pespektivabhängige Konstrukte,
die nicht rein objektiv sind.
Unsere „Wahrnehmungen“ wären im Sinne der Objektivität also nicht ganz „wahr“,
als Ersatz für die bisherige Wahrheit bliebe da nur die Summe der Wahrnehmungen aus allen Perspektiven.

Natürlich fragt man sich, weshalb das im Alltag so selten auffällt und wir mit der „einfachen“ Wahrheit ganz gut zurechtkommen?
Viele praktisch wichtige Eigenschaften scheinen nicht perspektivabhängig zu sein,
und von den Metaaussagen haben wir ja schon gesehen, dass sie diese Eigenschaft haben.
Vielleicht benutzen wir im Alltag mehr Metaaussagen als zunächst vermutet und sind Erfahrungen aus erster Hand gar nicht so häufg.

Nun wieder zur Theorie:
Die Mengenlehre mit ihrer Grundbeziehung „x e M“ erbt die Stufenabhängigkeit von der Aussagenlogik:
W(x e M, t+1) = W ( A(x), t ).

D.h. eine Menge M ist ein Objekt, das je nach Perspektive aus dem Turm ein anderes Objekt x enthält – oder nicht (bzw. unentscheidbar).

Die Eigenschaft „Element einer Menge zu sein“ gibt es also nicht mehr objektiv.

Da auf Logik und Mengenlehre Arithmetik und Mathematik aufgebaut werden,
hat dies natürlich auch dort Auswirkungen.
V.a. werde Widerspruchsbeweise meist hinfällig,
da scheinbar paradoxe Eigenschaften durch Perspektivwechsel erklärbar und zulässig sind. (Will ich ggf. später ausführlicher untersuchen).

Noch ein Anwendungsgebiet:

Computerprogrammen P mit Eingabestring X lässt sich ein Ergebnis P(X) zuordnen,
dass man auf die Werte w, -w, u (falls kein Ergebnis) beschränken kann.

Nach Stufenlogik hat ein Programm P bei Eingabe X kein objektives Ergebnis, sondern man muss W(P(x), t) betrachten, also Perspektiven beachten.

(Hinweis für Informatiker: Beim Halteproblem stößt man auf ein Programm S,
das sich scheinbar paradox verhält, mit Stufenlogik aber durch Perspektivwechsel erklärbar ist –
der Beweis ist also bei Stufenlogik nicht mehr gültig.)

Gruß
Trestone


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BeitragVerfasst am: Sa Okt 09, 2010 11:16 am


Hallo,

jetzt wieder zur Stufen-Mengenlehre.

Hier finde ich am interessantesten, dass ein einfacherer Umgang mit dem Unendlichen möglich wird als in der klassischen Mathematik.

Während man dort die Mengendefinitionen einschränken muss oder zwischen Klassen und Mengen unterscheidet
und letztlich eine unendliche Anzahl von „Unendlichkeiten“ erhält, insbesondere „überabzählbare“ Mengen,
wird das in der Stufentheorie viel überschaubarer:
Hier gibt es die All-Menge, und damit genügt eine Unendlichkeit.

Zur Begründung muss ich wieder einige Formeln benutzen,
aber ich deute die Beweisideen nur an
(und hoffe, dass ggf. auch formal exaktere Beweise möglich wären.)

Klassisch gilt ja der Satz von Cantor, dass keine Menge die gleiche Mächtigkeit wie ihre Potenzmenge haben kann, und dies wird mit einem „Diagonalbeweis“ gezeigt:

Man nimmt an, es gäbe eine Bijektion f von M auf P(M) und bildet dann die Menge Af,
die genau aus allen M-Elementen x besteht, die nicht in ihrem Bild f(x) liegen:

Af:= Menge aller x : x –e f(x) ( und x e M)

Da Af selbst eine Menge aus M-Elementen ist, also ein Element der Potenzmenge P(M) muss es nach Annahme auch ein x0 geben mit f(x0) = Af.

Dies führt aber auf einen Widerspruch:
1. Fall: Es gilt x0 e f(x0) , dann liegt x0 nicht in Af, also x0 –e Af = f(x0), ein Widerspruch!
2. Fall: Es gilt x0 -e f(x0) , dann liegt x0 in Af, also x0 e Af = f(x0), ein Widerspruch!
Also ist die Existenz der Bijektion f nicht möglich.

In der Stufenmengenlehre ist das anders:

1. Beweis:
Die All-Menge „All“ hatte ich ja wie folgt definiert:
W(x e All, t+1) := W (w,t) = w für t>0 und =u für t=0.
Die ALL-Menge ist also eine zulässige Stufenmenge.

Für die All-Menge ist die Potenzmenge gerade die All-Menge: P(all) = All.
Daher kann man als Bijektiion f (in jeder Stufe t) die Identität wählen.
Die All-Menge hat also die gleiche Mächtigkeit wie ihre Potenzmenge!

2. Beweis:
Wie ist das mit der Diagonalmenge Af in der Stufenmengenlehre?

Sei eine Stufe t0 gegeben und f eine Bijektion von M auf P(M) in Stufe t0.
Wir bilden nun analog:
W( x e Af, t+1) := W ( W(x e f(x), t) -= w , 1f ) & W( W( x e M, t0)=w , 1f)

Wieder muss es ein x0 geben mit W( x0 e M, t0)=w und f(x0) = Af.

1. Fall: W(x0 e f(x0), t)= w . Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , 1f ) & W( W( x0 e M, t0)=w , 1f) = W ( -w, 1f) & w = -w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = -w. Dies ist kein Widerspruch,da es um verschiedene Stufen geht.
(Mit der gleichen Stufe t+1 auf beiden Seiten wäre die Definition von x e Af nach Stufenregeln nicht zulässig)

2. Fall: W(x0 e f(x0), t)= u . Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , 1f ) & W( W( x0 e M, t0)=w , 1f) = W ( w, 1f) & w = w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = w. Dies ist kein Widerspruch,da es um verschiedene Stufen geht.

3. Fall: W(x0 e f(x0), t)= -w . Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , 1f ) & W( W( x0 e M, t0)=w , 1f) = W ( w, 1f) & w = w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = w. Dies ist kein Widerspruch,da es um verschiedene Stufen geht.

Jetzt betrachten wir noch Af für den Fall, dass M die Allmenge ist und f die Identität:

W( x e Af, t+1) := W ( W(x e f(x), t) -= w , 1f ) & W( W( x e All, t0)=w , 1f)
W( x e Af, t+1) := W ( W(x e x, t) -= w , 1f ) (für t0>0 ist der letzte Term immer w).

Nun finden wir in Af die Russell-Menge R wieder, wir hatten definiert:
W(x e R, t+1) := W ( W(x e x, t) = -w oder W(x e x, t) = u , 1f)

Strenggenommen ist der 2. Beweis nicht stichhaltig, da eine andere Definition von Af zum Ziel führen könnte,
aber der direkte Beweis über die All-Menge liegt ja vor –
und der Zusammenhang mit der Russellmenge veranschaulicht vielleicht die Zusammenhänge.

Mit Stufenlogik und Stufenmengenlehre haben wir also wohl ein (zugegebenermaßen unhandliches) Werkzeug, um die Mathematiker aus dem „Cantorschen Paradies“ der Überabzählbarkeiten zu vertreiben …

Gruß
Trestone


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BeitragVerfasst am: So Jan 23, 2011 7:05 pm


Hallo,

ich möchte eine schon länger an mich herangetragene Anregung aufgreifen,
und die Stufenlogik weiter vereinfachen:
Statt dreiwertig soll sie nun zweiwertig sein.

Zwar denke ich immer noch, dass in Stufe 0 der Wert „u = unentschieden“ gelten soll
und dies ein natürlicher Ausgangspunkt jeglicher Logik ist,
aber deshalb muss man diesen dritten Wert ja nicht unbedingt auch für die anderen Stufen fordern.
Mit nur zwei Wahrheitswerten ab Stufe t=1 hoffe ich, dass zudem klarer wird,
welche Effekte allein auf die Einführung der Stufen zurückgehen,
und nicht der dritte Wert zusätzliche Verwirrung stiftet.

Hier nun die passend umformulierten Stufenlogik-Axiome:

A0: Es gibt eine induktive Menge T von Stufen: t= 0,1,2,3,…

A1: Aussagen A sind stufenlose Gebilde, deren Wahrheitswert wir nur bezogen auf eine Stufe t erkennen können.
(Bei Aussagen über Wahrheitswerte ist also jeweils eine Bezugsstufe anzugeben, d.h. „W(A,t)=…“)

A2: In Stufe 0 sind alle Aussagen unbestimmt.
VA: W(A,0)=u

A3: Vt>0:VA: W(A,t)= entweder w oder –w. (Hier ist nun „u“ als möglicher Wert entfallen)

A4: Zwei Aussagen sind (stufenlogisch) gleich, wenn sie in allen Stufen t=0,1,2,… gleiche Wahrheitswerte haben.
VA:VB: ( A=B := Vt: W(A,t)=W(B,t) )

A5: (Meta-)Aussagen über t sind ab Stufe 1 stets w oder stets –w (also weitgehend wie klassische Aussagen).
Schreibweise: Bei Metaaussagen M steht W(M,1f) für W(M,1)=W(M,2)=W(M,3)=…

A6: (Meta-)Aussagen über „W(A,t)=…“ sind ab Stufe 1 stets w oder stets –w.

A7: Man kann eine Aussage A (stufenlogisch) definieren, indem man den Wert W(A,t) für jede Stufe t festlegt.
Dies ist auch rekursiv möglich, indem W(A,t+1) mittels W(A,t) festgelegt wird.
Dabei können auch beliebige schon definierte Werte W(B,d) und Metaaussagewerte benutzt werden.
z.B. W(H,t+1) := W( W(H,t)=-w v W(H,t)=w,1f )

Wie man sieht sind dies Axiome A0-A7 klassisch, d.h. W(An,1f)=w.



Jetzt betrachten wir die Lügneraussage:

Klassisch: L:= Diese Aussage L ist nicht wahr

Der Wahrheitswert „wahr“ ist hier ohne Bezugsebene.

Wir definieren daher: L1:= Diese Aussage L1 ist in Stufe t nicht wahr.
L1 := ( W(L1, t) -= w ) (Wir könnten auch L1:= W(L1,t ) = -w für t>0 setzen).
Wir wenden auf beiden Seiten den W-Operator in Stufe t+1 an:
W(L1,t+1) = W ( W(L1,t) -= w, t+1 ), so finden wir den Wert in der nächsten Stufe.

L1:= ( W(L1,t) -= w ), also W(L1,t+1) = W ( W(L1,t) -= w , t+1 )
1. Fall: W(L1,t) = w dann ist W(L1,t+1) = W ( w -= w , t+1 ) = -w (für t>=1)
2. Fall: W(L1,t) = -w dann ist W(L1,t+1) = W ( -w -= w , t+1 ) = w (für t>=1)
3. Fall: W(L1,t) = u dann ist W(L1,t+1) = W ( u -= w , t+1 ) = w (für t=0)

Also W(L1, 0) = u , W(L1,1)= w, W(L1,2) = -w, W(L1,3)= w, W(L1,4) = -w, usw.

L1 ist also ein Beispiel für eine Aussage, deren Wahrheitswert in verschiedenen Stufen nicht konstant ist -
was aber in Stufenlogik kein Problem darstellt.

(Der Lügner L2 in allen Stufen mit L2:= W(Vt: W(L2,t) -= w , 1f) ist weiter nicht zulässig, da Regel A7 nicht passt.)

Analog lässt sich die Stufenmengenlehre zwanglos auch zweiwertig formulieren,
jetzt kommen wir sogar noch näher an den naiven Cantorschen Ansatz heran.

Dazu definiere ich die Element-Eigenschaft “x e M“ stufenlogisch:

(Die Menge) x ist von Stufe t+1 aus gesehen Element der Menge M,
genau dann wenn x von Stufe t aus gesehen die Eigenschaft A(x) hat.
Genauer: Der Wahrheitswert von „x e M“ in Stufe t+1 ist w, wenn A(x) in Stufe t vorgegebene Werte hat und –w sonst.
In Stufe 0 hat W(x e M, 0) den Wert u.

M1:
W(x e M, t+1) := W ( W ( A(x), t ) =w1 v W ( A(x), t ) =w2 v W ( A(x), t ) =w3 , 1f )

Mengengrundansatz M2:
Zu jeder stufenlogischen Aussage A(x) über beliebige Stufenmengen x
gibt es eine Stufenmenge M, die für alle t=0,1,2,3,…
die Elementgleichung erfüllt:
W(x e M, t+1) := W ( A(x), t ) (bzw die genaueren Formeln von M1).

Grundmengen M3:
Zu jeder Eigenschaft A(x) gibt es also eine Menge M.
Und wir betrachten (zunächst) umgekehrt auch nur Mengen, die eine solche t+1-Darstellung über A(x) und t besitzen. (Wird noch erweitert, z.B. M3b)

Metamengen M3b:
Sei F eine logische Funktion (wie z.B. Negation, Identität, oder z.B. FoW(xeM1,t) = W(xeM1,t)=w ).
W(x e M, t+1) := W ( F o W(x e M1, t), 1f ) definiert eine (Meta-)Menge M
(wobei auch M1=M erlaubt ist.)

Folge zu Stufe 1 aus M2/M3:
Für alle x und Grundmengen M gilt: W(x e M, 1) = u.
Von Stufe 1 aus sind alle Grundmengen unbestimmt (denn W(A(x),0)=u gilt ja stets).
(Metamengen sind in Stufe 1 w oder –w.)

Mengengleichheit M4:

W(M1=M2, d+1) = W ( Für alle t gilt: W(xeM1,t) = W(xeM2,t) , 1f )
Insbesondere gilt: W(M=M, d+1)=w für d>=0.
Mengengleichheit ist eine Metaaussage die in allen Stufen d+1>1 entweder w oder –w ist.

Leere Menge 0:

W(x e 0, t+1) := W( W( x e 0, t ) = w , 1f ) = -w für t>0 und =u für t=0.

All-Menge All:

W(x e All, t+1) := W( W( x e All, t ) = w v W( x e All, t ) = u v W( x e All, t ) = -w , 1f ) = w für t>0 und =u für t=0.

Definition Ungleichheit:
W(A,t) -= w :<-> W(A, t) = -w oder W(A, t) = u .
Für t>0: W(A,t) -= w :<-> W(A, t) = -w

W(A-=B,1f) := W( Es existiert t mit W(A,t) -= W(B,t) , 1f )

Russellmenge:
Wir benutzen M3b:
Wir wählen als definierende Eigenschaft für R: W(x e x, t) -= w.
W(x e R, t+1) := W ( W(x e x, t) = -w oder W(x e x, t) = u , 1f); W(R e R,0 ):= u.
t=0: W(R e R, 1) := W ( W(R e R, 0) = -w oder W(R e R, 0) = -w, 1f) = w.
W(R e R, 2) := W ( W(R e R, 1) -= w , 1f) = -w.
W(R e R, 3) := W ( W(R e R, 2) -= w , 1f) = w. Usw.

Also widerspruchsfrei möglich.

Selbstbezügliche Aussagen wie „x e x“ oder „x –e x“ sind also in der Stufenmengenlehre möglich, allerdings darf bei der Definition von „x e M“ in Stufe t+1 nur allenfalls auf „x e M“ in Stufe t zurückgegriffen werden.

Auch in der Stufenmengenlehre gilt :
Die Lügneraussage bzw. der negative Selbstbezug auf nur eine Stufe ist (widerspruchsfrei) möglich und zulässig, über alle Stufen aber von den Bildungsregeln her nicht zulässig.

Die Zweiwertigkeit erleichtert den (leider komplizierten) Umgang mit natürlichen Zahlen in der Stufenmengenlehre etwas, aber dazu ein andermal.

Gruß
Trestone


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BeitragVerfasst am: So Okt 16, 2011 10:42 am


Hallo,

vielleicht noch ein paar Worte, was mich zu den Axiomen motiviert hat,
zumindest zu dem Grundaxiom A2 und den Axiomen zu Metaaussagen A6 und A7:

“Axiom A2: Aussagen A sind stufenlose Gebilde, deren Wahrheitswert wir nur bezogen auf eine Stufe t erkennen können.
Für jede Stufe t=0,1,2,3,.. hat eine Aussage einen Wahrheitswert W(A,t).
(Bei Aussagen über Wahrheitswerte ist also jeweils eine Bezugsstufe anzugeben, d.h. „W(A,t)=…“)"

Zu den Stufen kam ich dabei ein bißchen ähnlich wie Max Planck zu den Quanten:
Es gefiel mir eigentlich nicht und war zu kompliziert und passt nicht zum bisherigen Logikverständniss,
aber es scheint zu funktionieren ...

Mit den Stufen war die Lügneraussage (das Zentrum meiner Analysen) einfacher zu behandeln:

Wenn wir eine (Stufen-)Aussage L wie folgt definieren:
Für alle Stufen t:
W(L,t+1) := W (W(L,t) = -w ,1)

"Der Wert dieser Aussage L is wahr (in Stufe t+1) genau dann, wenn der Wert von L (in Stufe t) nicht wahr ist"

Mit dem (allgemein gültigen) Start W(L,0) = u
erhalten wir: W(L,1) = -w, W(L,2) = w, W(L,3) = w, W(L,4) = w, …

Also ist L, das ähnlich zur (klassischen) Lügneraussage ist, eine Aussage mit alternierenden Wahrheitswerten je Stufe.
In Stufenlogik ist L daher nicht problematisch, dank der Stufen.

Die nächsten besonderen Axiome sind die über Metaaussagen:

" Axiom A6: (Meta-)Aussagen über t sind ab Stufe 1 stets w oder stets –w (also weitgehend wie klassische Aussagen).
Schreibweise: Bei Metaaussagen M steht W(M,1f) für W(M,1)=W(M,2)=W(M,3)=…

Axiom A7: (Meta-)Aussagen über „W(A,t)=…“ sind ab Stufe 1 stets w oder stets –w "

Zur Motivation dieser Axiome sehen wir uns das oben betrachtete Axiom (A2) an.
Dort (bzw in ihrem Umfeld) finden wir Formulierungen wie:
"Für jede Stufe t=0,1,2,3,.. gilt",
Dh. die Axiome selbst sind meist Aussagen über alle Stufen.
Da es eine Hierarchie der Stufen gibt, dürfen wir (zunächst) nur kleinere Stufen verwenden,
um die Wahrheitswerte für eine Aussage in einer Stufe t0 festzulegen.
(Dazu fehlen evtl. noch formale Punkte in meiner Theorie).
Jedenfalls kann Axiom A2 nicht zu einer Stufe t1 "gehören",
da ja alle Stufen angesprochen werden.

Andererseits wollte ich nicht unendliche Ordinalzahlen in meine Stufenmenge ninzufügen, um diese einfach zu halten.
So machte ich Aussagen über eine bestimmte Stufe oder über alle Stufen mit folgendem Trick stufenunabhängig:

Ich forderte, dass solche Aussagen ab Stufe 1 konstant sind und immer den gleichen Wahrheitswert in allen größeren Stufen annehmen,
also Axiom 6 (+7).
(Ob beide benötigt werde oder eines genügt hätte, bin ich nicht sicher,
aber ja nicht so wichtig)

Jetzt können wir auch eine andere Lügneraussage LA betrachten:

Für alle t: W(LA,t+1) := W (Für alle d>0: W(LA,d) = -w ,1)
LA ist eine Metaaussage, daher gilt:
Für alle t: W(LA,t+1) := W (Für alle d>0: W(LA,1) = -w ,1)
Mit t=0: W(LA,1) := W (W(LA,1) = -w ,1)
Fall 1: W(LA,1)=w then W(LA,1)= W (w = -w ,1) = -w , Widerspruch
Fall 2: W(LA,1)=-w then W(LA,1)= W (-w = -w ,1) = w , Widerspruch
Also ist LA keine wohldefinierte (Meta)Stufenaussage -
und daher kein Problem in der Stufenlogik.

Analog mit Lügner-Aussage LE:
Für alle t: W(LE,t+1) := W (Es gibt d0>=0: W(LE,d0+1) = -w ,1)
Da auch LE ein Metastetement sein müsste gilt:
Für alle t: W(LE,t+1) := W (Es gibt d0>0: W(LE,d0+1) = -w ,1)
Mit t=d0: W(LE,d0+1) := W (Es gibt d0>0: W(LE,d0+1) = -w ,1)

Fall 1: d0 existiert: W(LE,d0+1) := W (Es gibt d0>0: W(LE,d0+1) = -w ,1) = w, nicht erlaubt
Fall 2: d0 existiert nicht: W(LE,d0+1) := W (es gibt d0>0: W(LE,d0+1) = -w ,1) = -w, nicht erlaubt
Also ist auch LE keine wohldefinierte (Meta)Stufenaussage -
und daher kein Problem in der Stufenlogik.

Evtl. könnte es sinnvoll sein zu verlangen,
dass (fast) alle Stufenaussagen A eine Definition der Art:
" Für alle Stufen t gilt: W(A, t+1) = …”
zu verlangen,
wobei auf der rechten Seite nur Wahrheitswerte von Aussagen mit Stufen kleiner als t+1 genannt werden dürften
oder Metaaussagen.

Aber hierzu habe ich noch keine genaueren bzw. systematischen und formalen Untersuchungen angestellt -
Hier könnte ich Hilfe gebrauchen!


Gruß
Trestone


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BeitragVerfasst am: Mo Dez 26, 2011 10:36 pm


Hallo,

für alle, die sich hierher verirrt haben und sich nicht abschrecken lassen:

Man muss nicht Mathematiker oder Logiker sein,
um mir Fragen zu stellen (ich bin auch nicht beides)
oder Anregungen bzw. Kritik zu äußern.
Denn langsam scheint die Theorie ziemlich stabil zu sein
(ich habe sie z.T hier im Forum inkl. etlicher Sackgassen online entwickelt),
etwas frischer Wind würde also nicht schaden.

Gruß
Trestone


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BeitragVerfasst am: Fr Mai 18, 2012 11:45 am


Hallo Trestone,
ich selbst arbeite ebenfalls seit über zehn Jahren an logischen Paradoxien. (Ich habe dir eine persönliche Nachricht geschrieben.)

Kennst du den Reflexionslogischen Ansatz von Ulrich Blau ("Die Logik der Unbestimmtheiten und Paradoxien"), der ebenfalls eine Stufenlogik benutzt?

Und was mich brennend interessiert, wie willst du das Cantorsche Diagonalverfahren aushebeln? Ich versuche schon seit geraumer Zeit zu beweisen, dass das Verfahren nicht mit der Standardlogik, der Prädikatenlogik erster Stufe kompatibel ist.


SimonSt
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BeitragVerfasst am: So Mai 20, 2012 8:10 pm


Hallo,
ich bins nochmal. Hab mir deinen Ansatz nochmal angeschaut. Du behauptest, dass alle Beweise (z.b. Cantors Überabzählbarkeit) in deiner Stufenlogik nicht führbar sind. Dies wäre ein fullminantes Ergebnis.
Andere Stufenlogiken (vgl. Blau) greifen diese Beweise nicht an.


SimonSt
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BeitragVerfasst am: So Mai 20, 2012 9:01 pm


In meinem letzten Post meine natürlich nur die "Paradoxie" Beweise.

Sind diese alle in deiner Logik nicht führbar oder machst Unterschiede?

Ich zähl nochmal alle auf, die ich als Paradoxiebeweise kenne:
1. Satz von Cantor (Beweis der Überabzählbarkeit der Potenzmenge)
2. Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz ("Es gibt Sätze in der Prädikatenlogik erster Stufe, wenn eine genügend reichhaltige Theorie zugrunde liegt, die nicht entscheidbar sind")
3. Halteproblem ("Kein Programm, kann von allen Programmen entscheiden, ob sie anhalten oder nicht")
4. Existenz berechenbarer nicht-primitiv-rekursiver Funktionen (Auch hier wird diagonalisiert und ein Widerspruch über eine Selbstreferenz hergestellt)


SimonSt
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BeitragVerfasst am: Do Mai 24, 2012 6:20 pm


Wenn ich deinen Ansatz richtig verstanden habe, sind nur die Wahrheitswerte der Aussagen gestuft, nicht wie bei Russells Typentheorie die Mengen selbst. Es ist also nicht die Menge x oder M gestuft, sondern nur Aussagen der Form x Element M.

Paradoxien beseitigst du, indem die Selbstreferenz nicht mehr auf sich selbst referiert sondern auf die entsprechende Aussage in einer anderen Stufe. Dabei beseitigst du nicht nur die Paradoxien, sondern auch die Widerspruchsbeweise, die auf Paradoxien aufbauen. Es ergibt sich nicht mehr der gesuchte Widerspruch, da die Gegenteilige Aussage einer anderen Stufe angehört.

Ich würde gern mit dir durchsprechen, ob die Aushebelung dieser Beweise formal korrekt ist, und ob sie alle Beweise dieser Art betrifft. Weiter sollte man prüfen, ob die normalen Widerspruchsbeweise, die keine Selbstreferenz benutzen davon nicht betroffen sind.

Sollten sich auf diese Weise die Paradoxiebeweise abspalten lassen ergäbe sich ein ganz anderer Aufbau der Mathematik.

Offen bleibt für mich erstmal die Frage, warum andere Stufenlogiken, den Lügner wie bei dir durch alle Stufen oszillieren lassen, die Paradoxiebeweise aber unangetastet lassen.


SimonSt
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BeitragVerfasst am: Mo Mai 28, 2012 4:20 pm


Hallo SimonSt,

ja alle von Dir aufgeführten indirekten Beweise sind in meiner Stufenlogik nicht mehr gültig.
Dies liegt primär aber nicht an den Widerspruchsbeweisen, sondern an den Stufen.
Denn auch in Stufenlogik ist der Widerspruchsbeweis weiter zulässig,
man muss nur sicherstellen, dass der Widerspruch innerhalb derselben Stufe auftritt. In den klassischen Beispielen ist das nicht der Fall, sondern werden (unbemerkt) verschiedene Stufen aufgeführt.
Ursprünglich haben mich auch die Widerspruchsbeweise und ihre Ergebnisse irritiert, die Stufenlogik war dann das erste Rezept das zu funktionieren scheint.
Aber letztlich suche ich eine philosophische und keine mathematische Logik, da ist die Stufenlogik nur ein erster Schritt, denn mit einer neuen Logik würde ich gern alte philosophische Probleme (wie z.B. "Was ist Bewußtsein? "Wie funktioniert freier Wille?") angehen.

Gruß
Trestone


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BeitragVerfasst am: Di Mai 29, 2012 2:27 pm


Hallo Trestone,

du wirst dich wundern, wie ähnlich unsere Vorhaben sind. Ich habe mir deine Überlegungen zu den Paradoxien angeschaut und mich selbst gewundert, dass ich über alle aufgeführten Sachen selbst nachgedacht habe, wenn auch teilweise mit anderem Ergebnis. Die Paradoxien durch Einführung von Stufen zu beseitigen ist naheliegend, ich habe damals aber wieder Abstand davon genommen. Ich habe die Selbstreferenz erst verteufelt, da ich der Ansicht war eine fundamentale Logik müsste ohne diese auskommen, habe dann aber gesehen, dass man nichts komplexes Aufbauen kann ohne eine Art von Selbstreferenz.

Sollte sich durch eine Stufenlogik genau die Beweise abschneiden lassen, die Selbstreferenz benutzen, wäre dies ein wichtiges Ergebnis, und würde einiges über die innere Logik der Mathematik offenbaren.

Aber nun zu meinen Zielen, die ich seit zehn Jahren auf eigene Faust verfolge. Für mich gibt es zwei große Fragestellungen: wie sieht die vereinheitlichte Theorie in der Physik aus, die alles beschreibt, und wie funktioniert das Bewußtsein. Wegen der ersten Frage habe ich Physik studiert, die zweite Frage wurde wichtiger für mich, als ich sah, dass die Paradoxien ein Werkzeug dafür sind. Meiner Ansicht nach sind alle Paradoxien, die in der Logik auftreten letztendlich Paradoxien des Bewußtseins. Mein Ziel seit vielen Jahren ist eine fundamentalere Logik zu entwickeln, die auf der Logik des Bewußtseins aufbaut und aus der die gesammte Mathematik abgeleitet werden kann. Das dies möglich sein sollte ist nicht so abwegig, da alle Überlegungen in der Mathematik letztendlich auf die Logik zurückgeht, von dem Mathematiker, der Mathematik betreibt. Diese zugrunde liegende Logik möchte ich aufdecken.

Ich habe dazu einen Ansatz entwickelt, den ich hier in kürze nur streifen kann. Die “Mutter” aller Paradoxien, oder genauer “problematischer” Selbstbezüge, ist für mich der Versuch, dass der Verstand sich selbst entschlüsseln will. Er müsste mithilfe seiner eigenen Logik seine eigene Logik beschreiben. Dieses Problem habe ich ausführlich mit einer Kommolitonin diskutiert. Bei der Selbstbetrachtung bleibt immer eine Art “blinder” Fleck übrig. Der Theoriebildner kann nie Teil seiner eigenen Theorie werden. Stets kann eine Art von Subjekt, dass Konstrukt betrachten, durch welches es selbst beschrieben werden soll. Lange dachten wir es könne keine Logik des Bewußtseins geben, die das Bewußtsein selbst erkennen kann. Doch eine Sache fiel nicht unter das Problem mit dem blinden Fleck. Der blinde Fleck entstand stets, wenn das Subjekt versucht sich selbst zu betrachten. Die Idee war nun die Logik der Selbstbetrachtung zum fundamentalen “Baustein” zu erklären. Untersucht das Subjekt die Selbstbetrachtung entsteht kein blinder Fleck, da das Subjekt hier wiederum eine Selbstbetrachtung anstellt. Die Reflexion des Bewußtseins führt nicht über die Theorie hinaus, wenn der Gegenstand der Theorie der Reflexionsprozess ist.

Es galt also eine Logik zu entwickeln, die den Reflexionsprozess zum Inhalt hat. Als erstes sollte die Mathematik auf diese Logik zurückgeführt werden. Meine Behauptung diesbezüglich ist also, dass die Strukturen, die in der Mathematik auftreten genau die Strukturen sein sollten, die der Geist durch reine Selbstbetrachtung findet. Die Artihmetik lässt sich leicht auf diese Weise beschreiben. Der Verstand hat die Möglichkeit entweder ein Objekt zu betrachten, oder eine Operation an dem Objekt auszuführen.

Jetzt muss ich etwas weiter ausholen. Was das Bewußtsein mit der Mathematik gemeinsam hat ist, dass beide nichts weiter machen als Repräsentierungen zu erstellen. Ordnet man den mathematischen Objekten reale Dinge zu (wendet man sie also an) repräsentieren die mathematischen Objekte etwas reales. Beschäftigt sich die Mathematik nur mit sich selbst, erstellt sie Repräsentierungen von ihren eigenen Repräsentierungen. Ähnlich beim bewußten Denken, beschäftigt sich der Geist mit etwas Konkreten, repräsentiert der Geist etwas außerhalb des Geistes. Betrachtet der Geist nur sich selbst, repräsentiert er ebenfalls nur Repräsentierungen, genaugenommen ergeben sich so die rein logisch denkbaren Strukturen.

Zurück zur Arithmetik. In meinen Betrachtungen ist es wichtig, dem Verstand die Fähigkeit zuzuschreiben, dass ihm nicht nur die betrachteten Objekte bewußt sind, sondern auch die Operationen, die er an diesen ausführt. Genaugenommen heißt für mich bewußt, dass auch die Operationen fähig sind durch eine Repräsentierung selbst zum Gegenstand der Betrachtung zu werden. Die Operationen werden also repräsentiert und so zugänglich einer Beschreibung, in diesem Fall werden sie zählbar. Durch fortgesetzte Repräsentierung gelangt man so zu der Folge der Operationen Plus, Mal und Potenzieren.

Was ich noch nicht erwähnt habe, aber essentiell ist, dass durch eine Selbstbetrachtung eine Assymmetrie in die Strukturen hineinkommt. Läßt man keine Selbstbetrachtungen als neue Elemente zu, lässt sich nichts Komplexes aufbauen. Geht man von Grundelementen aus, die man betrachtet, lassen sich diese nur beliebig neu gruppieren, ohne das eine Gruppierung der anderen ausgezeichnet wäre. Es müssen die Mittel selbst zum Gegenstand der Untersuchung werden, damit Assymmetrie ins Spiel kommt.

Letztlich führe ich alle Assymmetrie auf die verschiedenen Rollen des Subjekts und des Objekts bei der Betrachtung zurück. Das Subjekt bleibt in meinen Betrachtungen erhalten als Fluchtpunkt aller Selbstbetrachtungen. Später gebe ich diesem Fluchtpunkt noch eine andere Bedeutung.

Fortgesetzte Selbstbetrachtungen in der Arithmetik führen dazu, dass höhere Strukturen nicht mehr kommutativ und nicht mehr assoziativ sind. Auf die Weise kommt man zu einer alternativen Einführung der primitiv rekursiven Funktionen. An dieser Stelle kommen die Paradoxiebeweise ins Spiel. Die vier grundsätzlichen habe ich oben aufgeführt. Für mich stellen diese gerade den entscheidenen Punkt dar, ob in einer grundlegenderen Logik, die auf der Logik des Bewußtseins aufbauen soll, diese Beweise eine Erklärung finden und sich ins Bild einfügen. Ich dachte früher alle Paradoxiebeweise laufen darauf hinaus, dass man eine Struktur in einem Rahmen repräsentieren will, in den sie nicht hineinpasst. Aber nur zwei Paradoxiebeweise fallen für mich in diese Kategorie: Der Beweis der Überabzählbarkeit und der Beweis der Existenz nicht primitiv rekursiver Funktionen.

Die Potenzmenge der Natürlichen Zahlen lässt sich nicht mit den Natürlichen Zahlen repräsentieren. Das Diagonalverfahren zeigt, dass bereits ein Element, das Diagonalelement, imstande ist alle Natürlichen Zahlen zu repräsentieren. Es wird damit eine neue Klasse von Objekten definiert, wo jedes Element so stark ist, dass es alle Elemente der vorigen Klasse repräsentieren kann.

Bei den primitiv rekursiven Funktionen geht es nicht um das repräsentieren von Repräsentierungen, sondern um das repräsentieren von Operationen. Die Ackermannfunktion repräsentiert die komplette Reihe der Arithmetik: Plus, Mal, Potenzieren ... , bis ins unendliche. Ebenso ist für mich eine Diagonalisierung der primitiv rekursiven Funktionen nur eine Repräsentierung der Arithmetischen Reihe. Für mich bilden also Paradoxiebeweise nur eine Denkweise des Bewußtseins, auf welche Weise es Sachen wieder neu repräsentieren kann. Es erfasst nicht nur die einzelnen Elemente der Arithmetischen Reihe, sondern kann deren Folge ebenso Repräsentieren. Wobei dieses Element, welche alle vorigen Elemente zusammenfasst, nicht im alten Rahmen beschrieben werden kann.

Ich versuche also über die Mathematik insbesondere über die Paradoxiebeweise herauszufinden, auf welche weise sich das Bewußtsein überhaupt selbst betrachten kann.

Auch wenn ich glaube, dass man jetzt schon größtenteils nicht folgen kann, da ich hier nur kurz erklären kann, was ich meine, komme ich dennoch zum Subjekt zurück, welches ich als Fluchtpunkt beschrieben habe. In meinem Ansatz fungiert das Subjekt als Bezugspunkt von allem. Soll heißen, unser gesamtes Weltbild ist an diesem Fluchtpunkt aufgehängt. Selbstbewußtsein, so meine These, ist die Fähigkeit zur Selbstbetrachtung. Wir denken wir hätten alle Information über uns selbst beim Denken explizit vorliegen, mein Argument wäre, dass dem nicht so ist. Sie liegt nur potentiell vor. Potentiell in dem Sinne, dass der Geist jederzeit imstande ist neue Repräsentationen zu konstruieren.

Meine zweite These ist, dass wir den Fluchtpunkt als Bezugspunkt nehmen, um neue Repräsentationen zu erstellen. Wir suchen nach der Beziehung, des gerade gedachten zu uns selbst. Wir suchen nach der Beziehung zu dem etwas, was nie in die Betrachtung rutscht, das Subjekt der Betrachtung. Meine These ist, dass eine Denkkategorie eine stabile Denkkategorie darstellt, wenn sie bei einer Reflexion des Bewußtseins dieselbe bleibt. Eine Reflexion des Bewußtseins verschiebt nicht den Fluchtpunkt. Hat eine Kategorie einen festen Bezug zum Fluchtpunkt verschiebt sich diese Kategorie ebenfalls nicht. Sie bildet eine feste Kategorie im Denken. Als Bespiel wähle ich die Kategorie all meiner Gedanken. Der Gedanke an mich selbst, der eine Reflexion des Bewußseins ist, wird durch die Reflexion erst zu einem Gedanken. Hierdurch erhält dieser ansich spezielle Gedanke die gleiche Beziehung wie alle Gedanken zum Fluchtpunkt (dem Ich oder dem Subjekt).

Um die letzte These etwas weiter auszuführen: Ich denke, dass dem Ich keine Struktur in unserem Gehirn entspricht. Es ist ein gedachter Bezugspunkt. Allerdings spielt er für den “Algorithmus” der das Bewußtsein berechnet eine wichtige Rolle. Es wird stets dieser gedachte Fluchtpunkt konstruiert um die vorliegenden Objekte ins Weltbild einzuordnen, indem deren Bezug zum Ich festgestellt wird.

Ich behaupte also unser Weltbild hätte ein Zentrum: das Ich. Inwieweit würde die Physik etwas anderes behaupten? Ohne jetzt ein völlig neues Fass aufzumachen, will ich nur anmerken, dass sich alle Begrifflichkeiten in der Physik auf den physikalischen Beobachter beziehen. Es entsteht kein Bruch, da es unmöglich ist eine Kategorie einzuführen, die letztendlich nicht Bezug auf das Subjekt nimmt. Damit will ich nicht behaupten, dass die Welt nur subjektiv existieren würde, es geht mir nur darum herauszufinden, wie sich ein Subjekt ein Weltbild konstruieren kann.

Um nochmal genau zu trennen: Während ich die Mathematik alleine auf die Selbstbetrachtung des Geistes zurückführen will, benutze ich den in der Mathematik unerheblichen Fluchtpunkt aller Selbstbetrachtungen dazu den Aufbau des Weltbildes zu beschreiben. Mit Weltbild meine ich die Einordnung aller Dinge, wobei ich behaupte, dass es nur einen festen Punkt im Denken gibt, den wir hierfür benutzen können.

Hierbei ziele ich vorallem auf die KI, da Maschinen vor allem nicht in der Lage sind Dinge einzuordnen. Beschränkt man sich auf physische Dinge können sie vielleicht alle physischen Dinge in ein künstliches Konstrukt einordnen. Haben die Maschinen Repräsentationen von inneren Zuständen gelingt für diese Dinge keine Einordnung mehr. Die Maschine müsste wie wir einen Fluchpunkt im Denken konstruieren und die inneren Zustände zu diesen in Beziehung setzen.

Soweit kurz zu meinen Überlegungen. Wie du siehst habe ich nicht vor eine neue mathematische Logik zu entwerfen, sondern sehe die Mathematik als Hilfmittel eine Logik des Bewußtseins zu entwerfen, in dessen Zentrum die Selbstreflexion stehen soll. Die Mathematik, inwieweit sie schon vollständig entwickelt ist, dient dazu zu beschreiben welche Art der Selbstbetrachtung überhaupt logisch möglich ist.

Gruß Simon


SimonSt
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BeitragVerfasst am: Di Mai 29, 2012 5:47 pm


Hallo nochmal,

ich beziehe mich auf eine Aussage in einem anderem Thread von dir aber mit gleichem Thema:

“Das Ganze will aber mehr sein, als ein einfaches Werkzeug zur Analyse von Paradoxa: In dem (ähnlich der nichteuklidischen Geometrie) nun auch Aussagen möglich sind, die in manchen Ebenen wahr und in anderen falsch sind, gibt es mehr mögliche Aussagen als mit klassischer Logik. Daher ist dann auch einiges möglich, was klassisch unmöglich ist. (z.B. Menge aller Mengen, Potenzmenge gleichmächtig zu Menge und evtl. eine Mengenlehre mit Arithmetik, die dennoch nicht dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz unterliegt). “

Gleich vorweg, ich glaube nicht, nur weil der Gödelsche Unvollständigkeitssatz nicht mehr führbar ist, dass jedes Axiomatische System deshalb vollständig wird, d.h. dass jede Aussage in Bezug zu den Axiomen entweder wahr oder falsch wird.

Zur Begründung greife ich auf eine etwas unformale Beobachtung zurück, die ich im Zusammenhang mit Paradoxien in der Mathematik gemacht habe. Ich beschreibe das so: Die Mathematiker haben ihre Begriffe so definiert, dass eine Menge Luft zwischen diesen Begrifflichkeiten liegt. Das soll heißen, dass die Begriffe nicht konstruktiv auseinander hervorgehen. Z.B. ist eine Funktion so definiert, dass jedem Element aus der Menge x ein Element der Menge y zugeordnet wird. Es wird keine Einschränkung gemacht, wie diese Zuordnung gemacht werden muss. Man könnte sich bei der Zuordnung darauf beschränken nur arithmetische Operationen zuzulassen, so wie wir Funktionen aus der Schule kennen. Stattdessen ist es auch möglich, dass z.B. der Output eines Computerprogramms über die Zuordnung entscheidet. Tatsächlich muss die Zuordnung nicht mal über eine endliche Zeichenkette definiert sein. Es ist sogar so, dass mit Diagonalmethoden gezeigt wird, dass es überabzählbar viele Zuordnungen gibt zwischen zwei abzählbar unendlichen Mengen. D.h. dass es Funktionen geben muss, die gerade nicht durch die abzählbar vielen endlichen Zeichenketten definierbar sind.

Da die Mathematik Selbstreferenz nicht kategorisch ausschließt, musste sie sich an vielen Stellen begrifflich Luft machen, damit keine Widersprüche auftreten. Die Mathematik musste einige Mengen als Klassen deklarieren, die definitionsgemäß keine Elemente von Zusammenfassungen sein können. Obwohl kein logischer Unterschied feststellbar ist, zwischen der Zusammenfassung durch eine Menge oder der durch eine Klasse.

Durch die Selbstreferenz in Cantors Diagonalverfahren reicht nicht eine Unendlichkeit sondern unendlich viele Unendlichkeiten, deren Sinn alleine nur mit dem Diagonalverfahren selbst zu rechtfertigen ist.

Nun zu deiner Stufenlogik. Im Prinzip verschaffst du der Mathematik durch die Stufung mehr Luft, im Hinblick auf Widersprüche, die durch einen Selbstbezug zustande kommen. Deshalb ist es dir möglich die Luft an anderer Stelle hinauszunehmen: D.h. keine Klassen mehr, keine höheren Unendlichkeiten.

Ich denke aber, dass dies nicht für den Gödelschen Unvollständigkeitssatz gilt. Ich sehe nicht, wie du hier die Luft zwischen den Begriffen rauspressen willst. Die Luft, die im Gödelschen Unvollständigkeitssatz ausgenutzt wird, dass der Beweis kein Widerspruch in der Mathematik ist, ist die Luft zwischen den Sätzen, die mit einem Alphabet formulierbar sind, und den Sätzen, die aus einem begrenzten Satz von Axiomen abgeleitet werden können.

Es gibt Axiomensysteme, die vollständig sind [siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Vollständigkeit_(Logik)]. Jede Aussage, die mit dem Alphabet formulierbar ist, ist mit dem Axiomensystem entscheidbar.

Andererseits gibt es Theorien, die ein Alphabet benutzen, dass stets korrekte Sätze gebildet werden können, die nicht von den Axiomen erfasst werden. Gödel konstruiert solche Sätze, die natürlich vom gewählten Axiomensystem abhängen. Ich denke deine Stufenlogik macht nur den Beweis hinfällig, verhindert aber nicht, dass man “wild” formulierte Aussagen konstruieren kann, die von dem Axiomensystem nicht entschieden werden können.

Dennoch interesiert es mich gerade, was für eine Mathematik herauskommt, wenn man an allen Stellen die Luft rauspresst, an denen es durch deine Stufenlogik möglich ist.

Gruß Simon


SimonSt
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